Question

（2009•宜昌模擬）受金融危機(jī)的影響，三峽某旅游公司經(jīng)濟(jì)效益出現(xiàn)了一定程度的滑坡．現(xiàn)需要對(duì)某一景點(diǎn)進(jìn)行改造升級(jí)，從而擴(kuò)大內(nèi)需，提高旅游增加值．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，旅游增加值y萬元與投入x萬元之間滿足：y=

51

50

x-ax2-ln

x

10

，

x

2x-12

∈[t，+∞)，其中t為大于

1

2

的常數(shù)．當(dāng)x=10萬元時(shí)y=9.2萬元．
（1）求y=f（x）的解析式和投入x的取值范圍；
（2）求出旅游增加值y取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x值．

Answer 1

分析：（1）由于當(dāng)x=10萬元時(shí)，y=9.2萬元，求得a的值得f（x）的解析式．根據(jù)

x

2x-12

∈[t，+∞)，t為大于

1

2

的常數(shù)，可得6＜x≤

12t

2t-1

，即為所求投入x的取值范圍．
（2）利用導(dǎo)數(shù)可得可得f（x）在（1，50]上是增函數(shù)，在（50，+∞）上是減函數(shù)．再由6＜x≤

12t

2t-1

，
①當(dāng)

12t

2t-1

≥50時(shí)，則x=50時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，②若

12t

2t-1

＜50，則當(dāng)x=

12t

2t-1

時(shí)，函數(shù)f（x）取得
最大值，綜合可得結(jié)論．

解答：解：（1）由于y=

51

50

x-ax2-ln

x

10

，當(dāng)x=10萬元時(shí)，y=9.2萬元，
因此，

51

50

×10-a×102-ln1=9.2，解得a=

1

100

．
從而f（x）=

51

50

x-

x2

100

-ln

x

10

．…（3分）
∵

x

2x-12

∈[t，+∞)，t為大于

1

2

的常數(shù)，可得6＜x≤

12t

2t-1

．
即投入x的取值范圍為（6，

12t

2t-1

]．…（6分）
（2）由題意可得f′（x）=

51

50

-

x

50

-

1

x

=-

x2-51x+50

50x

，令f′（x）=0，可得 x=1，或 x=50．…（8分）
當(dāng)x∈（1，50）時(shí)，f′（x）＞0，且f（x）在（1，50）上連續(xù)，因此f（x）在（1，50]上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（50，+∞））時(shí)，f′（x）＜0，且f（x）在（50，+∞）上連續(xù)，
因此f（x）在（50，+∞）上是減函數(shù)．
再由6＜x≤

12t

2t-1

，
①可得當(dāng)

12t

2t-1

≥50時(shí)，則x=50時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，即投入50萬元改造時(shí)旅游取得最大增加值．
②若

12t

2t-1

＜50，則當(dāng)x=

12t

2t-1

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值．
即投入

12t

2t-1

萬元改造時(shí)旅游取得最大增加值．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的最值的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．