【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為矩形，PA是四棱錐的高，PB與DC所成角為45°，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，E是BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PE⊥AF；
（Ⅱ）若BC=2BE=2 AB，求直線AP與平面PDE所成角的大小．．

【答案】解：（Ⅰ） 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AP=AB=2，BE=a則A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），F(xiàn)（0，1，1），E（a，2，0）
于是， ， ，
則 ，
所以AF⊥PE．
（Ⅱ）若 ，則 ， ，
=（2 ，2，﹣2），
設(shè)平面PDE的法向量為 =（x，y，z），
由 ，得： ，令x=1，則 ，
于是 ，而
設(shè)直線AP與平面PDE所成角為θ，
則sinθ= = ．
∴直線AP與平面PDE所成角為60°．

【解析】（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，以及向量PE，AF的坐標(biāo)，得到其數(shù)量積為0即可證明結(jié)論．（Ⅱ）先根據(jù)條件求出D的坐標(biāo)以及 ， 的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面PDE的法向量的坐標(biāo)，再代入向量的夾角計(jì)算公式即可得到答案．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系和用空間向量求直線間的夾角、距離的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明∥，只需證明∥，即;則要證明，只需證明，即；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】解答題。
（1）如圖，證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線，b是π外的一條直線（b不垂直于π），c是直線b在π上的投影，若a⊥b，則a⊥c”為真．
（2）寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假（不需要證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x2+bx|（b∈R），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）的最大值為M（b），則M（b）的最小值是（ ）
A.3﹣2
B.4﹣2
C.1
D.5﹣2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知向量 =（1，0）， =（m，1），且 與 的夾角為 ．
（1）求| ﹣2 |；
（2）若（ +λ ）與 垂直，求實(shí)數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】歐陽修《賣油翁》中寫到：（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢入孔入，而錢不濕，可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止，若銅錢是直徑為2cm的圓，中間有邊長(zhǎng)為0.5cm的正方形孔，若你隨機(jī)向銅錢上滴一滴油，則油（油滴的大小忽略不計(jì)）正好落入孔中的概率為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，動(dòng)點(diǎn)P在直線x+ y+b=0上，過P分別作圓O，O1的切線，切點(diǎn)分別為A，B，若滿足PB=2PA的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）=4sinωxcos（ωx+ ）+1（ω＞0），其圖象上有兩點(diǎn)A（s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，線段AB與函數(shù)圖象有五個(gè)交點(diǎn)． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[x1 ， x2]和[x3 ， x4]上單調(diào)遞增，在[x2 ， x3]上單調(diào)遞減，且滿足等式x4﹣x3=x2﹣x1= （x3﹣x2），求x1、x4所有可能取值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】4月23人是“世界讀書日”，某中學(xué)在此期間開展了一系列的讀書教育活動(dòng)，為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，學(xué)校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對(duì)其課外閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均課外閱讀時(shí)間（單位：分鐘）的頻率分布直方圖，若將日均課外閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“讀書謎”，低于60分鐘的學(xué)生稱為“非讀書謎”
（1）根據(jù)已知條件完成下面2×2的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為“讀書謎”與性別有關(guān)？

非讀書迷

讀書迷

合計(jì)

男

15

女

45

合計(jì)


（2）將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校大量學(xué)生中，用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中的“讀書謎”的人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期望E（X）和方程D（X） 附：K2= n=a+b+c+d

P（K2≥k0）

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在Rt△ABC中，已知A（﹣2，0），直角頂點(diǎn)B（0，﹣2 ），點(diǎn)C在x軸上．
（Ⅰ）求Rt△ABC外接圓的方程；
（Ⅱ）求過點(diǎn)（﹣4，0）且與Rt△ABC外接圓相切的直線的方程．

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