Question

已知為橢圓上的三個點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若所在的直線方程為，求的長；

（2）設(shè)為線段上一點(diǎn)，且，當(dāng)中點(diǎn)恰為點(diǎn)時，判斷的面積是否為常數(shù)，并說明理由.

 

Answer 1

（1）;（2）定值為

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)榍?/span>所在的直線方程為與橢圓方程相交所得的弦長.一般是通過聯(lián)立兩方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，可以解得兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，從而根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式求出弦長.

（2）直線與圓的位置關(guān)系，首先考慮直線的斜率是否存在，做好分類的工作.若當(dāng)斜率存在時，通過聯(lián)立方程，應(yīng)用韋達(dá)定理知識，求出弦長，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高的長.從而寫出三角形的面積（含斜率的等式）.再根據(jù)的關(guān)系求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，帶到橢圓方程中，即可求出含斜率的一個等式，從而可得結(jié)論.

試題解析：（1）由 得，

解得或，

所以兩點(diǎn)的坐標(biāo)為和所以.

（2）①若是橢圓的右頂點(diǎn)（左頂點(diǎn)一樣），則，

因?yàn)?/span>，在線段上，所以，求得，

所以的面積等于.

②若B不是橢圓的左、右頂點(diǎn)，設(shè)，，

由 得

，，

所以，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以，代入橢圓方程，化簡得.

計算.

因?yàn)辄c(diǎn)到的距離

所以，的面積.

綜上，面積為常數(shù).

考點(diǎn)：1.直線與橢圓的位置關(guān)系.2.弦長公式.3.點(diǎn)到直線的距離公式.4.向量的知識.5.整體的解題思想.6.過定點(diǎn)的問題.