【題目】近年來,移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月、兩種移動(dòng)支付方式的使用情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了人,發(fā)現(xiàn)樣本中、兩種支付方式都不使用的有人,樣本中僅使用和僅使用的學(xué)生的支付金額分布情況如下:
支付金額(元) 支付方式 | 大于 | ||
僅使用 | 人 | 人 | 人 |
僅使用 | 人 | 人 | 人 |
(1)從樣本僅使用和僅使用的學(xué)生中各隨機(jī)抽取人,以表示這人中上個(gè)月支付金額大于元的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用的學(xué)生中,隨機(jī)抽查人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于元.根據(jù)抽查結(jié)果,能否認(rèn)為樣本僅使用的學(xué)生中本月支付金額大于元的人數(shù)有變化?說明理由.
【答案】(1)的分布列見解析,數(shù)學(xué)期望為;(2)無法確定是否有變化,理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)確定僅使用支付方法或支付方法中,金額不大于和大于的人所占的頻率,由題意得出隨機(jī)變量的可能取值有、、,再利用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算出隨機(jī)變量在對應(yīng)取值的概率,可列出隨機(jī)變量的分布列,并利用數(shù)學(xué)期望公式可求出其數(shù)學(xué)期望;
(2)計(jì)算出事件“從樣本僅使用的學(xué)生中,隨機(jī)抽查人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于元”的概率,根據(jù)概率的意義得出結(jié)論.
(1)僅使用支付方法的名學(xué)生中,
金額不大于的人數(shù)占,金額大于的人數(shù)占,
僅使用支付方法的學(xué)生中,金額不大于的人數(shù)占,金額大于的人數(shù)占,
且的所有可能值為、、.
則,,,
所以分布列為:
數(shù)學(xué)期望;
(2)無法確定是否有變化,理由如下:
記事件“從樣本僅使用的學(xué)生中,隨機(jī)抽查人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于元.”
假設(shè)樣本僅使用的學(xué)生中,本月支付金額大于元的人數(shù)沒有變化,
則由上個(gè)月數(shù)據(jù)得,.
我們知道“小概率事件”的概率雖小,但還是有可能發(fā)生的,因此無法確定是否有變化.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)有位學(xué)生申請、、三所大學(xué)的自主招生.若每位學(xué)生只能申請其中一所大學(xué),且申請其中任何一所大學(xué)是等可能的.
(1)求恰有人申請大學(xué)的概率;
(2)求被申請大學(xué)的個(gè)數(shù)的概率分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分15分)已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線,垂足為,點(diǎn)滿足 記點(diǎn)的軌跡為曲線.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè),點(diǎn)在曲線上,且直線與直線的斜率之積為,求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若無窮數(shù)列滿足:只要,必有,則稱具有性質(zhì).
(1)若具有性質(zhì),且, ,求;
(2)若無窮數(shù)列是等差數(shù)列,無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列, , , 判斷是否具有性質(zhì),并說明理由;
(3)設(shè)是無窮數(shù)列,已知.求證:“對任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在邊長為2的正方形中, 是邊的中點(diǎn).將沿折起使得平面平面,如圖2, 是折疊后的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】唐詩是中國文學(xué)的瑰寶.為了研究計(jì)算機(jī)上唐詩分類工作中檢索關(guān)鍵字的選取,某研究人員將唐詩分成7大類別,并從《全唐詩》48900多篇唐詩中隨機(jī)抽取了500篇,統(tǒng)計(jì)了每個(gè)類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù),得到下表:
愛情婚姻 | 詠史懷古 | 邊塞戰(zhàn)爭 | 山水田園 | 交游送別 | 羈旅思鄉(xiāng) | 其他 | 總計(jì) | |
篇數(shù) | 100 | 64 | 55 | 99 | 91 | 73 | 18 | 500 |
含“山”字的篇數(shù) | 51 | 48 | 21 | 69 | 48 | 30 | 4 | 271 |
含“簾”字的篇數(shù) | 21 | 2 | 0 | 0 | 7 | 3 | 5 | 38 |
含“花”字的篇數(shù) | 60 | 6 | 14 | 17 | 32 | 28 | 3 | 160 |
(1)根據(jù)上表判斷,若從《全唐詩》含“山”字的唐詩中隨機(jī)抽取一篇,則它屬于哪個(gè)類別的可能性最大,屬于哪個(gè)類別的可能性最小,并分別估計(jì)該唐詩屬于這兩個(gè)類別的概率;
(2)已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為:
①若有超過95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關(guān)系,則“某字”為“某類別”的關(guān)鍵字;
②若“某字”被選為“某類別”關(guān)鍵字,則由其對應(yīng)列聯(lián)表得到的的觀測值越大,排名就越靠前;
設(shè)“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對應(yīng)的觀測值分別為,,.已知,,請完成下面列聯(lián)表,并從上述三個(gè)字中選出“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字并排名.
屬于“愛情婚姻”類 | 不屬于“愛情婚姻”類 | 總計(jì) | |
含“花”字的篇數(shù) | |||
不含“花”的篇數(shù) | |||
總計(jì) |
附:,其中.
0.05 | 0.025 | 0.010 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線上點(diǎn)處的切線方程為.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)和為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),其中且,線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,SA=SB=AB=BC=CA=6,且側(cè)面ASB⊥底面ABC,則三棱錐S-ABC外接球的表面積為( )
A. 60π B. 56π C. 52π D. 48π
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