Question

（2012•重慶）設(shè)f（x）=4cos（ωx-

π

6

）sinωx-cos（2ωx+π），其中ω＞0．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的值域
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[-

3π

2

，

π

2

]上為增函數(shù)，求ω的最大值．

Answer 1

分析：（I）由題意，可由三角函數(shù)的恒等變換公式對函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡得到f（x）=

3

sin2ωx+1，由此易求得函數(shù)的值域；
（II）f（x）在區(qū)間[-

3π

2

，

π

2

]上為增函數(shù)，此區(qū)間必為函數(shù)某一個單調(diào)區(qū)間的子集，由此可根據(jù)復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性求出用參數(shù)表示的三角函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，由集合的包含關(guān)系比較兩個區(qū)間的端點即可得到參數(shù)ω所滿足的不等式，由此不等式解出它的取值范圍，即可得到它的最大值．

解答：解：f（x）=4cos（ωx-

π

6

）sinωx-cos（2ωx+π）
=4（

3

2

cosωx+

1

2

sinωx）sinωx+cos2ωx
=2

3

cosωxsinωx+2sin²ωx+cos²ωx-sin²ωx
=

3

sin2ωx+1，
∵-1≤sin2ωx≤1，
所以函數(shù)y=f（x）的值域是[1-

3

，1+

3

]
（II）因y=sinx在每個區(qū)間[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈z上為增函數(shù)，
令2kπ-

π

2

≤2ωx≤2kπ+

π

2

，又ω＞0，
所以，解不等式得

kπ

ω

-

π

4ω

≤x≤

kπ

ω

+

π

4ω

，即f（x）=

3

sin2ωx+1，（ω＞0）在每個閉區(qū)間[

kπ

ω

-

π

4ω

，

kπ

ω

+

π

4ω

]，k∈z上是增函數(shù)
又有題設(shè)f（x）在區(qū)間[-

3π

2

，

π

2

]上為增函數(shù)
所以[-

3π

2

，

π

2

]⊆[

kπ

ω

-

π

4ω

，

kπ

ω

+

π

4ω

]，對某個k∈z成立，
于是有

- 3π 2 ≥- π 4ω π 2 ≤ π 4ω

．解得ω≤

1

6

，故ω的最大值是

1

6

．

點評：本題考查三角恒等變換的運用及三角函數(shù)值域的求法，解題的關(guān)鍵是對所給的函數(shù)式進(jìn)行化簡，熟練掌握復(fù)合三角函數(shù)單調(diào)性的求法，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，計算能力，屬于中等難度的題