Question

如圖所示的表格中，每格填上一個數(shù)字后，使每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列．

	第1列	第2列	第3列	第4列	第5列	…
第1行	1		2			…
第2行	1 2		1			…
第3行			a			…
第4行				b		…
第5行					c	…
…	…	…	…	…	…	…

（1）求b+c-a的值；
（2）設第3列數(shù)從上到下形成的數(shù)列是{a_n}，第3行數(shù)從左到右形成的數(shù)列是{b_n}，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知橫行成等差數(shù)列，數(shù)列成等比數(shù)列及表格中所提供的數(shù)據(jù)可把每一表格的每一個數(shù)據(jù)求解出來，從而可求出a，b，c的值；
（2）確定數(shù)列的通項，利用錯位相減法，即可求數(shù)列{a_nb_n}的和．

解答：解：（1）第1行前5個數(shù)依次為1，

3

2

，2，

5

2

，3，…（1分）
第2行前5個數(shù)依次為

1

2

，

3

4

，1，

5

4

，

3

2

…（2分）
∵每列是等比數(shù)列，
∴a=

1

2

，b=

5

2

×(

1

2

)3=

5

16

，c=3×（

1

2

)4⁴=

3

16

…（5分）
∴b+c-a=

5

16

+

3

16

-

1

2

=0…（6分）
（2）∵a_n=2×(

1

2

)n-1，bn=

1

8

(n+1)…（8分）
∴a_nb_n=（n+1）(

1

2

)n+1…（9分）
∴S_n=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+（n+1）(

1

2

)n+1

1

2

S_n=2×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n+1+（n+1）(

1

2

)n+2
相減得

1

2

S_n=2×(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n+1-（n+1）(

1

2

)n+2=

3

4

-（n+3）(

1

2

)n+2
∴S_n=

3

2

-(n+3)(

1

2

)n+1…（12分）

點評：本題是等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義的最基本的應用，其關鍵是要根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù)求解出每一行及每一列中的數(shù)據(jù)，屬于中檔題．