Question

【題目】如圖，在底面是菱形的四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD= ，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）證明PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的大��；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，

由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB．

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．

（Ⅱ）解：作EG∥PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD．

知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，連接EH，

則EH⊥AC，∠EHG即為二面角θ的平面角．

又PE：ED=2：1，所以 ．

從而 ，θ=30°．

（Ⅲ）解法一以A為坐標原點，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標系如圖．

由題設條件，相關各點的坐標分別為 . ．

所以 ． ． ．

設點F是棱PC上的點， ，其中0＜λ＜1，

則 = ．

令 得 即

解得 ．即 時， ．

亦即，F是PC的中點時， 、 、 共面．

又BF平面AEC，所以當F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC．

解法二：當F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC，證明如下，

證法一：取PE的中點M，連接FM，則FM∥CE．①

由 ，知E是MD的中點．

連接BM、BD，設BD∩AC=O，則O為BD的中點．

所以BM∥OE．②

由①、②知，平面BFM∥平面AEC．

又BF平面BFM，所以BF∥平面AEC．

證法二：

因為 = = ．

所以 、 、 共面．

又BF平面ABC，從而BF∥平面AEC．

【解析】（I）證明PA⊥AB，PA⊥AD，AB、AD是平面ABCD內的兩條相交直線，即可證明PA⊥平面ABCD；（II）求以AC為棱，作EG∥PA交AD于G，作GH⊥AC于H，連接EH，說明∠EHG即為二面角θ的平面角，解三角形求EAC與DAC為面的二面角θ的大��；（Ⅲ）證法一F是棱PC的中點，連接BM、BD，設BD∩AC=O，利用平面BFM∥平面AEC，證明使BF∥平面AEC．

證法二建立空間直角坐標系，求出 、 、 共面，BF平面AEC，所以當F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC．還可以通過向量表示，和轉化得到 、 、 是共面向量，BF平面ABC，從而BF∥平面AEC．