【題目】已知雙曲線 （a＞0，b＞0）的離心率為 ，虛軸長(zhǎng)為4．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)（0，1），傾斜角為45°的直線l與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB的面積．

【答案】
（1）解：依題意可得 ，

解得 ，

∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．


（2）解：直線l的方程為y=x+1，

設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），

由 可得3x2﹣2x﹣5=0，

由韋達(dá)定理可得 ， ，

即 ，

原點(diǎn)到直線l的距離為 ，

于是 ，

∴△AOB的面積為 ．


【解析】（1）運(yùn)用雙曲線的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程即可得到a=1，b=2，進(jìn)而得到雙曲線的方程；（2）直線l的方程為y=x+1，代入雙曲線的方程，設(shè)A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，由三角形的面積公式計(jì)算即可得到所求值．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且對(duì)任意的n∈N*都有Sn=2an﹣n，
（1）求數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1 ， a2 ， a3；
（2）猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an ， 并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（3）求證：對(duì)任意n∈N*都有 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為y=2x2+1，值域?yàn)閧5，19}的“孿生函數(shù)”共有（ ）
A.4個(gè)
B.6個(gè)
C.8個(gè)
D.9個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)集合P={m|﹣1＜m≤0}，Q={m|mx2+4mx﹣4＜0對(duì)任意x恒成立}，則P與Q的關(guān)系是（ ）
A.PQ
B.QP
C.P=Q
D.P∩Q=

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知集合D= ，有下面四個(gè)命題：
p1：（x，y）∈D， ≥3 p2：（x，y）∈D， ＜1
p3：（x，y）∈D， ＜4 p4：（x，y）∈D， ≥2
其中的真命題是（ ）
A.p1 ， p3
B.p1 ， p4
C.p2 ， p3
D.p2 ， p4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=2，BC=2 ，M，N分別是CC1 ， BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A1B1上，且 ．

（1）證明：無論λ取何值，總有AM⊥PN；
（2）當(dāng)λ取何值時(shí)，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該角取最大值時(shí)的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在多面體ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面ACD；
（2）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，橢圓C1： +y2=1，x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長(zhǎng)等于C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)．

（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）設(shè)C2與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A、B，直線MA、MB分別與C1相交于D、E．
①證明： =0；
②記△MAB，△MDE的面積分別是S1 ， S2 ． 若 =λ，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ，常數(shù)a＞0．
（1）設(shè)mn＞0，證明：函數(shù)f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增；
（2）設(shè)0＜m＜n且f（x）的定義域和值域都是[m，n]，求常數(shù)a的取值范圍．

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