Question

【題目】設數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， 且對任意的n∈N*都有Sn=2an﹣n，
（1）求數(shù)列{an}的前三項a1 ， a2 ， a3；
（2）猜想數(shù)列{an}的通項公式an ， 并用數(shù)學歸納法證明；
（3）求證：對任意n∈N*都有 ．

Answer 1

【答案】
（1）令n=1得，S1=2a1﹣1=a1，故a1=1；

令n=2得，S2=2a2﹣2=a1+a2=1+a2，故a2=3；

令n=3得，S3=2a3﹣3=a1+a2+a3=1+3+a3，故a3=7

（2）由（1）可以猜想an=2n﹣1，下面用數(shù)學歸納法進行證明：

①當n=1時，結(jié)論顯然成立；

②假設當n=k時結(jié)論成立，即ak=2k﹣1，

從而由已知Sn=2an﹣n可得：Sk=2ak﹣k=2（2k﹣1）﹣k=2k+1﹣k﹣2．

故Sk+1=2k+2﹣k﹣3．

∴ak+1=Sk+1﹣Sk=（2k+2﹣k﹣3）﹣（2k+1﹣k﹣2）=2k+1﹣1．

即，當n=k+1時結(jié)論成立．

綜合①②可知，猜想an=2n﹣1成立．即，數(shù)列{an}的通項為an=2n﹣1

（3）∵an=2n﹣1，

∴an+1﹣an=（2n+1﹣1）﹣（2n﹣1）=2n，

∴ ，

∴對任意n∈N*都有

【解析】（1）分別將n=1，2，3代入Sn=2an﹣n中便可求出數(shù)列{an}的前三項a1 ， a2 ， a3的值；（2）先根據(jù)（1）中的答案猜想an的通項公式，然后分別討論n=1和n≥2時an的表達式滿足猜想即可證明；（3）根據(jù)（2）中求得的an的通項公式然后寫出 的表達式即可證明對任意n∈N*都有 ．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的通項公式和數(shù)學歸納法的定義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式；數(shù)學歸納法是證明關于正整數(shù)n的命題的一種方法．