Question

如圖，在棱長為的正方體中，點是棱的中點，點在棱上，且滿足.

（1）求證：；
（2）在棱上確定一點，使、、、四點共面，并求此時的長；
（3）求幾何體的體積.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）.

試題分析：（1）連接，先由正方體的性質(zhì)得到，以及平面，從而得到，利用直線與平面垂直的判定定理可以得到平面，于是得到；（2）假設(shè)四點、、、四點共面，利用平面與平面平行的性質(zhì)定理得到，，于是得到四邊形為平行四邊形，從而得到的長度，再結(jié)合勾股定理得到的長度，最終得到的長度；（3）連接，由正方體的性質(zhì)得到，結(jié)合（1）中的結(jié)論平面，得到
平面，然后選擇以點為頂點，為高，四邊形為底面的四棱錐，利用錐體的體積公式計算幾何體的體積.
試題解析：（1）如下圖所示，連接，

由于為正方體，所以四邊形為正方形，所以，
且平面，，
，平面，
平面，；
（2）如下圖所示，假設(shè)、、、四點共面，則、、、四點確定平面，

由于為正方體，所以平面平面，
平面平面，平面平面，
由平面與平面平行的判定定理得，
同理可得，因此四邊形為平行四邊形，，
在中，，，，
由勾股定理得，
在直角梯形中，下底，直角腰，斜腰，
由勾股定理可得，
結(jié)合圖形可知，解得；
（3）如下圖所示，連接交于點，

由于為正方體，，，，
所以四邊形為平行四邊形，，
由（1）知，平面，所以平面，平面，
由于為棱長為正方體，所以，
，
在直角梯形中，直角腰，上底，下底，
因此梯形的面積，
因此幾何體的體積.