Question

已知直線4x+3y-12=0截圓心在點(diǎn)C（1，1）的圓C所得弦長(zhǎng)為2

3

．
（1）求圓C的方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)（-1，2）的圓C的切線方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓C的半徑為R，求得圓心到直線4x+3y-12=0的距離為d=

|4+3-12|

16+9

=1，再利用弦長(zhǎng)公式求得半徑R，從而求得圓C的方程．
（2）分所求切線斜率不存在和切線的斜率存在兩種情況，根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑，分別求得圓C的切線方程．

解答：解：（1）設(shè)圓C的半徑為R，圓心到直線4x+3y-12=0的距離為d，則有 d=

|4+3-12|

16+9

=1，R=

d2+( 2 3 2 )2

=2，
故圓C的方程為：（x-1）²+（y-1）²=4．…（3分）
（2）當(dāng)所求切線斜率不存在時(shí)，即 x=-1，滿足圓心到直線的距離為2，
故x=-1為所求的圓C的切線．…（4分）
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)方程為：y-2=k（x+1）即kx-y+k+2=0，則 d=

|k-1+k+2|

k2+(-1)2

．
解得k=

3

4

，故切線為：

3

4

x-y+

3

4

+2=0，整理得：3x-4y+11=0．
所以所求圓的切線為：x=-1 與3x-4y+11=0．…（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用待定系數(shù)法求圓的方程，直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．