Question

（08年湖北卷理）（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖，在直三棱柱中，平面側(cè)面

（Ⅰ）求證：

（Ⅱ）若直線(xiàn)AC與平面A₁BC所成的角為θ,二面角A₁-BC-A的大小為φ的大小關(guān)系，并予以證明.

Answer 1

【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作于，則

由平面側(cè)面，且平面側(cè)面，得平面。又平面，

所以。

因?yàn)槿�棱柱�?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090319/20090319170611013.gif' width=92>直三棱柱，

則底面。

所以，又，從而側(cè)面。

又側(cè)面，故.

（2）解法1：連接，則由（1）知是直線(xiàn)與平面所成的角，

是二面角的平面角，即。

于是在中，在中，，

由，得，又所以。

 

 

解法2：由（1）知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在的直線(xiàn)分軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

則，

于是，。

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

由得

可取，于是與的夾角為銳角，則與互為余角。

所以，，

所以。

于是由，得，

即，又所以。

【試題解析】第（1）問(wèn)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，一般先證線(xiàn)面垂直，再由線(xiàn)面垂直得線(xiàn)線(xiàn)垂直；第（2）問(wèn)若用傳統(tǒng)方法一般來(lái)說(shuō)要先作垂直，進(jìn)而得直角三角形。若用向量方法，關(guān)鍵在求法向量。

【高考考點(diǎn)】本題主要考查直棱柱、直線(xiàn)與平面所成的角、二面角和線(xiàn)面關(guān)系等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理能力。

【易錯(cuò)提醒】要牢記面面角，線(xiàn)面角的范圍，特別是用向量法求二面角的時(shí)候要注意所要求的角與向量夾角的關(guān)系。

【備考提示】立體幾何中的垂直、平行，角與距離是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，應(yīng)該熟練掌握。