Question

【題目】已知二次函數(shù)為常數(shù), 的一個(gè)零點(diǎn)是,函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù), 設(shè)函數(shù)．

（1）過(guò)點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線, 證明切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；

（2）令,若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù), 求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意可得,再化簡(jiǎn),求導(dǎo)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解證明；（2）化簡(jiǎn)求導(dǎo)得,再令從而由的正負(fù)確定函數(shù)的正負(fù),進(jìn)而確定的正負(fù),得到的單調(diào)性,從而求解．

試題解析：解：（1）是二次函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，。

設(shè)切點(diǎn)為則切線的斜率。

整理得顯然，是這個(gè)方程的解。

上是增函數(shù)，

則方程有唯一實(shí)數(shù)解，故

則

，

設(shè)

則

易知在上是減函數(shù)，從而．

①當(dāng)即時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)．

在上恒成立，即在上恒成立．

在區(qū)間上是減函數(shù)。則滿足題意．

②當(dāng)，即時(shí)，設(shè)函數(shù)的唯一零點(diǎn)為，

則在上遞增，在上遞減。

在內(nèi)有唯一一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，,當(dāng)遞增，與在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)矛盾。

不合題意．

綜合①②得，即的取值范圍是．