Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=sinωxcosωx+ cos2ωx﹣ （ω＞0），直線x=x1 ， x=x2是y=f（x）圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且|x1﹣x2|的最小值為 ．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移 個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程g（x）+k=0，在區(qū)間 上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，由題意知，最小正周期 ，又 ，所以ω=2，

∴ ．）

（2）解：將f（x）的圖象向右平移個(gè) 個(gè)單位后，得到 y= = 的圖象，

再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到 的圖象， ．

令 ，∵ ，∴ ，g（x）+k=0，在區(qū)間 上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，

即函數(shù)y=g（x）與y=﹣k在區(qū)間 上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，由正弦函數(shù)的圖象可知 或﹣k=1

∴ ，或k=﹣1

【解析】（1）利用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)f（x）的解析式化為 ，根據(jù)周期求出ω=2，從而得到 ．（2）將f（x）的圖象向右平移個(gè) 個(gè)單位后，得到 y= = 的圖象，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到 的圖象，可得 ，函數(shù)y=g（x）與y=﹣k在區(qū)間 上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，由正弦函數(shù)的圖象可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握?qǐng)D象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．