已知函數(shù)
(1)求f(x)的最大值及取得最大值時的x集合;
(2)設△ABC的角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=1,f(A)=0.求b+c的取值范圍.
【答案】分析:(1)把函數(shù)解析式的第三項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡,整理后,再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的余弦函數(shù),根據(jù)余弦函數(shù)的值域可得出f(x)的值域,進而確定出函數(shù)f(x)的最大值,根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質可得出取得最大值時x的范圍,確定出此時x的集合;
(2)由第一問得到的解析式,根據(jù)f(A)=0,利用余弦函數(shù)的圖象與性質得出A=kπ+(k∈Z),并根據(jù)A為三角形的內(nèi)角,確定出A的度數(shù),由a,sinA的值,利用正弦定理用sinB和sinC分別表示出b與c,代入b+c中,并根據(jù)A的度數(shù),求出B+C的度數(shù),用B表示出C代入b+c化簡后的式子中,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡,整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù),由B的范圍求出這個角的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質得出此時正弦函數(shù)的值域,即可確定出b+c的取值范圍.
解答:(本小題滿分14分)
解:(1)f(x)=1-sin2x+2cos2x
=cos2x-sin2x+2 (2分)
=2cos(2x+)+2,(4分)
∵-1≤cos(2x+)≤1,
∴0≤2cos(2x+)+2≤4,
∴f(x)的最大值為4,(5分)
當2x+=2kπ(k∈Z),即x=kπ-(k∈Z)時,函數(shù)f(x)取最大值,
則此時x的集合為{x|x=kπ-,k∈Z};(7分)
(2)由f(A)=0得:2cos(2A+)+2=0,即cos(2A+)=-1,
∴2A+=2kπ+π(k∈Z),即A=kπ+(k∈Z),
又0<A<π,∴A=,(9分)
∵a=1,sinA=,
由正弦定理==得:b==sinB,c=sinC,(10分)
又A=,∴B+C=,即C=-B,
∴b+c=(sinB+sinC)=[sinB+sin(-B)]
=(sinB+cosB+sinB)
=2(sinB+cosB)
=2sin(B+),(12分)
∵A=,∴B∈(0,),
∴B+∈(,),
∴sin(B+)∈(,1],
則b+c的取值范圍為(1,2].(14分)
點評:此題屬于解三角形的題型,涉及的知識有:正弦定理,二倍角的余弦函數(shù)公式,兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式,正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質,正弦、余弦函數(shù)的定義域與值域,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵,同時注意角度的范圍.
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