Question

已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間、最大值；

（Ⅱ）討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)。

 

Answer 1

【答案】

解法一 （Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

（Ⅱ）當(dāng)即時(shí)，函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根.

當(dāng)即時(shí)，函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即方程有一個(gè)根.

顯然當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有根.

【解析】（Ⅰ）

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

（Ⅱ）

通過(guò)圖象可對(duì)進(jìn)行討論：

當(dāng)即時(shí)，函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根.

當(dāng)即時(shí)，函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即方程有一個(gè)根.

顯然當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有根.

解法二 （Ⅰ），

由，解得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，

最大值為

（Ⅱ）令   

（1）當(dāng)時(shí)，，則，

所以，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081613212406893461/SYS201308161322151750918018_DA.files/image035.png">， 所以

因此在上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則，

所以，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081613212406893461/SYS201308161322151750918018_DA.files/image044.png">，，又

所以 所以

因此在上單調(diào)遞減.

綜合（1）（2）可知 當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)，即時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，

故關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)，即時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，

故關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為1；

當(dāng)，即時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知

要使，只需使，即；

②當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知

；

要使，只需使，即；

所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，故關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為2；

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為1；

當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為2.

【考點(diǎn)定位】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值等主干知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想的綜合應(yīng)用.第一問(wèn)的研究為第二問(wèn)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合鋪平了“道路”，使的相對(duì)位置關(guān)系更明晰.