【題目】(本小題滿分10分)
(2017天津)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇,每次播放連續(xù)劇時,需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時,連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示:
連續(xù)劇播放時長(分鐘) | 廣告播放時長(分鐘) | 收視人次(萬) | |
甲 | 70 | 5 | 60 |
乙 | 60 | 5 | 25 |
已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘,廣告的總播放時間不少于30分鐘,且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用,表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù).
(1)用,列出滿足題目條件的數(shù)學關系式,并畫出相應的平面區(qū)域;
(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次,才能使收視人次最多?
【答案】(1)見解析;(2)每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時才能使總收視人次最多.
【思路分析】(1)根據(jù)題目中的條件列出相應的不等式,同時注意,需滿足,這一隱含條件,建立不等式組,畫出平面區(qū)域;(2)根據(jù)的幾何意義即可求得最值.
【解析】(1)由已知,滿足的數(shù)學關系式為,即.(2分)
該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖1中陰影部分內(nèi)的整點(包括邊界):(5分)
(2)設總收視人次為萬,則目標函數(shù)為.
考慮,將它變形為,這是斜率為,隨變化的一族平行直線.
為直線在軸上的截距,當取得最大值時,的值最大.(6分)
又滿足約束條件,所以由圖2可知,當直線經(jīng)過可行域上的點M時,截距最大,即最大.(8分)
解方程組,得點M的坐標為,
所以,電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時才能使總收視人次最多.(10分)
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , a1=1,an+1= Sn . 求證:
(1)數(shù)列{ }成等比;
(2)Sn+1=4an .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司購買了A,B,C三種不同品牌的電動智能送風口罩.為了解三種品牌口罩的電池性能,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從三種品牌的口罩中抽出25臺,測試它們一次完全充電后的連續(xù)待機時長,統(tǒng)計結(jié)果如下(單位:小時):
A | 4 | 4 | 4.5 | 5 | 5.5 | 6 | 6 | |||
B | 4.5 | 5 | 6 | 6.5 | 6.5 | 7 | 7 | 7.5 | ||
C | 5 | 5 | 5.5 | 6 | 6 | 7 | 7 | 7.5 | 8 | 8 |
(Ⅰ)已知該公司購買的C品牌電動智能送風口罩比B品牌多200臺,求該公司購買的B品牌電動智能送風口罩的數(shù)量;
(Ⅱ)從A品牌和B品牌抽出的電動智能送風口罩中,各隨機選取一臺,求A品牌待機時長高于B品牌的概率;
(Ⅲ)再從A,B,C三種不同品牌的電動智能送風口罩中各隨機抽取一臺,它們的待機時長分別是a,b,c(單位:小時).這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為.若,寫出a+b+c的最小值(結(jié)論不要求證明).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,點,直線與動直線的交點為,線段的中垂線與動直線的交點為.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)過動點作曲線的兩條切線,切點分別為,,求證:的大小為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)。
(1)若曲線在點處的切線與直線垂直,求的單調(diào)遞減區(qū)間和極小值(其中為自然對數(shù)的底數(shù));
(2)若對任意恒成立,求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸,B原料2噸;生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸,B原料3噸,銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元,每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元.該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸,B原料不超過18噸.那么在一個生產(chǎn)周期內(nèi)該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸可獲得最大利潤,最大利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= sinωx+cosωx(ω>0)的圖象與x軸交點的橫坐標構(gòu)成一個公差為 的等差數(shù)列,把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移 個單位,得到函數(shù)g(x)的圖象.若在區(qū)間[0,π]上隨機取一個數(shù)x,則事件“g(x)≥ ”發(fā)生的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】①設三個正實數(shù)a , b , c , 滿足 ,求證:a , b , c一定是某一個三角形的三條邊的長;
②設n個正實數(shù) a1,a2,...an 滿足不等式 (其中 ),求證: a1,a2,...an 中任何三個數(shù)都是某一個三角形的三條邊的長.
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