Question

（1）設雙曲線與橢圓

x2

27

+

y2

36

=1有相同的焦點，且與橢圓相交，一個交點A的縱坐標為4，求此雙曲線的標準方程．
（2）設橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）的右焦點與拋物線y²=8x的焦點相同，離心率為

1

2

，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析：（1）由橢圓方程求出焦點坐標，在橢圓方程中取y=4求出橢圓與雙曲線的交點，代入雙曲線方程后聯立求解即可得到答案；
（2）由拋物線方程求出橢圓右焦點，得到c，由離心率求得a，結合隱含條件求出b，則答案可求．

解答：解：（1）橢圓

x2

27

+

y2

36

=1的焦點為（0，3），（0，-3）
所以雙曲線的c²=9．
在橢圓上，令y=4，解得，x=±

15

．
所以雙曲線過點（±

15

，4）
設雙曲線方程

y2

a2

-

x2

b2

=1
將點（

15

，4）代入，得

16

a2

-

15

b2

=1①
又a²+b²=c²=9②
由①②可以解得a²=4，b²=5．
雙曲線方程

y2

4

-

x2

5

=1；
（2）由拋物線y²=8x，得p=4
拋物線右焦點是（2，0），即橢圓的焦點坐標是（2，0），則c=2
又e=

c

a

=

1

2

，故a=4
即m²=a²=16，n²=b²=a²-c²=16-4=12
∴橢圓的標準方程為

x2

16

+

y2

12

=1．

點評：本題考查了圓錐曲線的幾何性質，考查了計算能力，是中檔題．