Question

已知函數(shù)，其中為常數(shù)．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若任取，求函數(shù)在上是增函數(shù)的概率．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間分別為和；（Ⅱ）函數(shù)在上是增函數(shù)的概率為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，首先將代入，我們易求出函數(shù)的解析式，從而求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)后，令導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值大于等于0，由此構(gòu)造關(guān)于的不等式，解不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)在上是增函數(shù)的概率，這是一個幾何概型問題，我們可以先畫出，對應(yīng)的平面區(qū)域的面積，然后再求出滿足條件函數(shù)在上是增函數(shù)時對應(yīng)的平面區(qū)域的面積，計算出對應(yīng)的面積后，代入幾何概型公式即可得到答案．

試題解析：（1）當(dāng)時，， 

令，,解得或，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間分別為和 

（2）

若函數(shù)在上是增函數(shù)，則對于任意，恒成立．

所以，，即           8分

設(shè)“在上是增函數(shù)”為事件，則事件對應(yīng)的區(qū)域為

全部試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，

所以，

故函數(shù)在上是增函數(shù)的概率為 

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；幾何概型；概率的應(yīng)用．