如圖,設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),M為直線l:y=-2p上任意一點(diǎn),過M引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A、B.
(1)設(shè)拋物線上一點(diǎn)P到直線l的距離為d,F(xiàn)為焦點(diǎn),當(dāng)d-|PF|=
32
時(shí),求拋物線方程;
(2)若M(2,-2),求線段AB的長;
(3)求M到直線AB的距離的最小值.
分析:(1)根據(jù)d-|PF|=
3
2
,得yP+2p-(yP+
p
2
)=
3p
2
=
3
2
,由此可求拋物線方程;
(2)求出拋物線方程與過M點(diǎn)的直線為y=k(x-2)-2聯(lián)立,利用直線與拋物線相切,可求得xB-xA=4
2
,xB+xA=4.根據(jù)A、B在拋物線上,可求yB-yA,從而可求線段AB的長;
(3)設(shè)M(m,-2p),過M點(diǎn)的直線與拋物線聯(lián)立,利用直線與拋物線相切,可得x1-x2=p(k1-k2),y1-y2=
x
2
1
-
x
2
2
2p
=
(x1-x2)(x1+x2)
2p
=
p2(k1-k2)(k1+k2)
2p
,從而可得直線AB的方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)M到AB的距離,利用基本不等式,即可求M到直線AB的距離的最小值.
解答:解:(1)由d-|PF|=
3
2
,得yP+2p-(yP+
p
2
)=
3p
2
=
3
2
,∴p=1,
∴拋物線方程為x2=2y.
(2)M(2,-2)在直線y=-2p上,∴-2=-2p,解得p=1,
∴拋物線方程為x2=2y,
設(shè)過M點(diǎn)的直線為y=k(x-2)-2,聯(lián)立:
y=k(x-2)-2
x2=2y
,消去y,得
x2
2
=kx-2k-2

即x2-2kx+4(k+1)=0(*),
∵直線與拋物線相切,∴△=0,即4k2-16(k+1)=0
∴k2-4k-4=0,∴k=2±2
2
,此時(shí),方程(*)有等根x=k,
∴xB=2+2
2
,xA=2-2
2

∴xB-xA=4
2
,xB+xA=4.
∵A、B在拋物線上,
∴yB-yA=
x
2
B
-
x
2
A
2
=
(xB+xA)(xB-xA)
2
=8
2

∴|AB|=
(xB-xA)2+(yB-yA)2
=
32+128
=4
10

(3)設(shè)M(m,-2p),過M點(diǎn)的直線為L:y=k(x-m)-2p,聯(lián)立:
y=k(x-m)-2p
x2=2py
,消去y,得
x2
2p
=kx-km-2p

∴x2-2kpx+2p(km+2p)=0①,
∵直線與拋物線相切,∴△=0
∴4k2p2-8p(km+2p)=0,∴pk2-2mk-4p=0②,此時(shí)方程①有等根x=kp,
令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),則x1-x2=p(k1-k2),y1-y2=
x
2
1
-
x
2
2
2p
=
(x1-x2)(x1+x2)
2p
=
p2(k1-k2)(k1+k2)
2p
,
∴AB的斜率k′=
y1-y2
x1-x2
=
k1+k2
2

由②,根據(jù)韋達(dá)定理可得k1+k2=
2m
p
,∴k′=
m
p
,
∴直線AB的方程為y-y1=
m
p
(x-x1)
,
y-
k
2
1
p2
2p
=
m
p
(x-k1p)

∴化簡可得2py-
k
2
1
p2=2mx-2mk1p
,
2mx-2py+p(p
k
2
1
-2mk1)=0
,
由②pk2-2mk-4p=0,∴p
k
2
1
-2mk1=4p
,
∴AB方程化為:2mx-2py+4p2=0,
∴點(diǎn)M到AB的距離d=
|2m•m-2p(-2p)+4p2|
4m2+4p2
=
|2m2+8p2|
4m2+4p2
=
(m2+p2)+3p2
m2+p2
=
m2+p2
+
3p2
m2+p2
≥2
3p2
=2
3
p
,
當(dāng)且僅當(dāng)
m2+p2
=
3p2
m2+p2
,即m2+p2=3p2,
m=±
2
p
時(shí),上式等號成立,
∴M到直線AB的距離的最小值為2
3
p
點(diǎn)評:本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查點(diǎn)到直線的距離公式,考查基本不等式的運(yùn)用,綜合性強(qiáng).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn),過M引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A,B.
(Ⅰ)求證:A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;
(Ⅱ)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-2p)時(shí),|AB|=4
10
.求此時(shí)拋物線的方程;
(Ⅲ)是否存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D在拋物線x2=2py(p>0)上,其中,點(diǎn)C滿足
OC
=
OA
+
OB
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).若存在,求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn),過M引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A,B.
(Ⅰ)求證:A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;
(Ⅱ)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2p)時(shí),|AB|=4
10
,求此時(shí)拋物線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆河南省許昌市五校高二下學(xué)期第一次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,設(shè)拋物線方程為為直線上任意一點(diǎn),過引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為

(1)求證:三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;

(2)已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),.求此時(shí)拋物線的方程。

 

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如圖,設(shè)拋物線方程為直線上任意一點(diǎn),過M引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A,B。

(1)求證:A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;

(2)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),,求此時(shí)拋物線的方程;

(3)是否存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D在拋物線上,其中,點(diǎn)C滿足O為坐標(biāo)原點(diǎn)).若存在,求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

 

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