Question

試比較nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ（n∈N^*）的大�。�
當(dāng)n=1時(shí)，有nⁿ⁺¹

 

（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
當(dāng)n=2時(shí)，有nⁿ⁺¹

 

（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
當(dāng)n=3時(shí)，有nⁿ⁺¹

 

（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
當(dāng)n=4時(shí)，有nⁿ⁺¹

 

（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
猜想一個(gè)一般性的結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

分析：本題考查的知識點(diǎn)是歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法，我們可以列出nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ（n∈N^*）的前若干項(xiàng)，然后分別比較其大小，然后由歸納推理猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答：解：當(dāng)n=1時(shí)，nⁿ⁺¹=1，（n+1）ⁿ=2，此時(shí)，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當(dāng)n=2時(shí)，nⁿ⁺¹=8，（n+1）ⁿ=9，此時(shí)，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當(dāng)n=3時(shí)，nⁿ⁺¹=81，（n+1）ⁿ=64，此時(shí)，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，
當(dāng)n=4時(shí)，nⁿ⁺¹=1024，（n+1）ⁿ=625，此時(shí)，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，
根據(jù)上述結(jié)論，我們猜想：當(dāng)n≥3時(shí)，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n∈N^*）恒成立．
①當(dāng)n=3時(shí)，nⁿ⁺¹=3⁴=81＞（n+1）ⁿ=4³=64
即nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，k^k+1＞（k+1）^k成立，即：

kk+1

(k+1)k

＞1
則當(dāng)n=k+1時(shí)，

(k+1)k+2

(k+2)k+1

=(k+1)•(

k+1

k+2

)k+1＞(k+1)•(

k

k+1

)k+1=

kk+1

(k+1)k

＞1
即（k+1）^k+2＞（k+2）^k+1成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，
∴當(dāng)n≥3時(shí)，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n∈N^*）恒成立．

點(diǎn)評：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．