【題目】設函數(shù)f(x)=ex﹣ax﹣2.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若a=1,k為整數(shù),且當x>0時,(x﹣k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)=ex﹣ax﹣2的定義域是R,f′(x)=ex﹣a,

若a≤0,則f′(x)=ex﹣a≥0,所以函數(shù)f(x)=ex﹣ax﹣2在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增.

若a>0,則當x∈(﹣∞,lna)時,f′(x)=ex﹣a<0;

當x∈(lna,+∞)時,f′(x)=ex﹣a>0;

所以,f(x)在(﹣∞,lna)單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.


(2)解:由于a=1,所以,(x﹣k) f(x)+x+1=(x﹣k) (ex﹣1)+x+1

故當x>0時,(x﹣k) f(x)+x+1>0等價于k< (x>0)①

令g(x)= ,則g′(x)=

由(1)知,當a=1時,函數(shù)h(x)=ex﹣x﹣2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

而h(1)<0,h(2)>0,

所以h(x)=ex﹣x﹣2在(0,+∞)上存在唯一的零點,

故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零點,設此零點為α,則有α∈(1,2)

當x∈(0,α)時,g′(x)<0;當x∈(α,+∞)時,g′(x)>0;

所以g(x)在(0,+∞)上的最小值為g(α).

又由g′(α)=0,可得eα=α+2所以g(α)=α+1∈(2,3)

由于①式等價于k<g(α),故整數(shù)k的最大值為2.


【解析】(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可先求出函數(shù)的導數(shù),由于函數(shù)中含有字母a,故應按a的取值范圍進行分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性,給出單調(diào)區(qū)間;(2)由題設條件結(jié)合(1),將不等式,(x﹣k) f(x)+x+1>0在x>0時成立轉(zhuǎn)化為k< (x>0)成立,由此問題轉(zhuǎn)化為求g(x)= 在x>0上的最小值問題,求導,確定出函數(shù)的最小值,即可得出k的最大值;
【考點精析】通過靈活運用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值即可以解答此題.

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