Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，D為AB的中點，AC=BC=BB₁
（1）求證：BC₁∥平面CA₁D
（2）求證：平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B
（3）求二面角C-DA₁-C₁的余弦值．

Answer 1

證明：（1）設AC₁與A₁C交于O，連接DO，則可得O為AC₁的中點
所以OD∥BC₁
因為DO?平面CA₁D，BC₁?平面CA₁D
所以BC₁∥平面CA₁D
（2）由直三棱柱ABC-可得BB₁⊥平面ABC
所以BB₁⊥CD
又AC=BC，D為AB的中點∴CD⊥AB
∵AB∩BB₁=B
∴CD⊥平面AA₁B₁B
又∵CD?平面CA₁D
∴平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B
（3）解：設AC=BC=BB₁=a，則可得，，
∴A₁D²+DC²=A₁C²，即A₁D⊥DC
在△C₁DA₁中，，A₁C₁=a
過C₁作C₁M⊥A₁D垂足為M，則可得，過M作MN∥DC與A₁C交于N，則MN⊥A₁D
∴∠NMC₁即為二面角角C-DA₁-C₁的平面角
在△MNC₁中，MC₁=，，
由余弦定理可得，=
分析：（1）設AC₁與A₁C交于O，連接DO，則可得O為AC₁的中點，則由OD∥BC₁結(jié)合線面平行的判定定理可證
（2）根據(jù)面面垂直的判定定理可證，要證明平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B，結(jié)合已知，只要先證BB₁⊥CD，CD⊥AB，進而有CD⊥平面AA₁B₁B，根據(jù)面面垂直的判定定理即可證
（3）設AC=BC=BB₁=a，，通過計算可得A₁D⊥DC
過C₁作C₁M⊥A₁D垂足為M，則可得，過M作MN∥DC與A₁C交于N，則MN⊥A₁D，則∠NMC₁即為二面角角C-DA₁-C₁的平面角，在△MNC₁中，由余弦定理可得，可求
點評：本題是一道綜合性較強的試題，綜合考查了線面平行（垂直）的判定定理的應用及線線平行（垂直），線面平行（垂直），面面平行（垂直）的相互轉(zhuǎn)化，難點在于二面角的求解．