Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析 （2）

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和，兩種情況討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）①當(dāng)時(shí)，根據(jù)，求得在上只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，分、和，三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的存在定理，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

且，

①當(dāng)時(shí)，令，即.解得；

令，即，解得，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，由，得或

（i）若，則，所以在上單調(diào)遞增；

（ii）若，則，令，可得或；

令，解得，

所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（iii）若，則，令，解得或；

令，解得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)，令得，

又知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，

（i）當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，，

此時(shí)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

（ii）當(dāng)時(shí)，由（1）結(jié)合的單調(diào)性，，只需討論的符號，

當(dāng)時(shí)，由，可得在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)時(shí)，由，可得在上無零點(diǎn)；

（iii）若由（1）結(jié)合的單調(diào)性，，

，此時(shí)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍.