設(shè)向量
a
=（sinx，cosx），
b
=（cosx，cosx），x∈R，函數(shù)f（x）=
a
•(
a
-
b
)
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[-
π
4
，
π
4
]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）求使不等式f（x）≥1成立的x的取值范圍．
分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，化簡函數(shù)的解析式為
1
2
-
2
2
sin(2x+
π
4
)，求得周期．
（2）根據(jù)x的范圍，求得角2x+
π
4
的范圍，即可得到sin（2x+
π
4
）的 范圍，進而求得函數(shù)的值域．
（3）不等式可化為sin(2x+
π
4
)≤-
2
2
，由
5π
4
+2kπ≤2x+
π
4
≤
7π
4
+2kπ，k∈Z，可求得x的取值范圍．
解答：解：（1）∵
a
-
b
=（sinx-cosx，0），
∴
a
•(
a
-
b
=（sinx，cosx）•（sinx-cosx，0）
=sin2x-sinxcosx=
1-cos2x
2
-
1
2
sin2x=
1
2
-
2
2
sin(2x+
π
4
)，所以周期 T=
2π
2
=π．
（2）當(dāng)x∈[-
π
4
，
π
4
]時，-
π
4
≤2x+
π
4
≤
3π
4
，-
2
2
≤-
2
2
sin(2x+
π
4
)≤
1
2
，
所以
1-
2
2
≤
1
2
-
2
2
sin(2x+
π
4
)≤1，即
1-
2
2
≤f（x）≤1．
（3）f（x）≥1，即
1
2
-
2
2
sin(2x+
π
4
)≥1，所以sin(2x+
π
4
)≤-
2
2
，
5π
4
+2kπ≤2x+
π
4
≤
7π
4
+2kπ，k∈Z，所以
π
2
+kπ≤x≤
3π
4
+kπ，k∈Z，
所以x∈{x|
π
2
+kπ≤x≤
3π
4
+kπ，k∈Z}．
點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域、值域的求法，化簡函數(shù)的解析式
為
1
2
-
2
2
sin(2x+
π
4
)，是解題的突破口．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量
a
=（sinx，
3
2
），
b
=（
2
3
，2cosx）且
a
∥
b
，則銳角x為（　�。�
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
5
12
π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）對任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）恒成立，設(shè)向量
a
=（sinx，2），
b
=（2sinx，
1
2
），
c
=（cos2x，1），
d
=（1，2），當(dāng)x∈[0，π]時，求不等式f（
a
•
b
）＞f（
c
•
d
）的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f （x）=x2+mx+n對任意x∈R，都有f （-x）=f （2+x）成立，設(shè)向量
a
=（ sinx，2 ），
b
=（2sinx，
1
2
），
c
=（ cos2x，1 ），
d
=（1，2），
（Ⅰ）求函數(shù)f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，π]時，求不等式f （
a
•
b
）＞f （
c
•
d
）的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x） 對任意x∈R，都有f （1-x）=f （1+x）成立，設(shè)向量
a
=（sinx，2），
b
=（2sinx，
1
2
），
c
=（cos2x，1），
d
=（1，2）．
（1）分別求
a
•
b
和
c
•
d
的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時，求不等式f（
a
•
b
）＞f（
c
•
d
）的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•揚州二模）已知二次函數(shù)f（x）=x2-2x+6，設(shè)向量a=（sinx，2），b=（2sinx，
1
2
），c=（cos2x，1），d=（1，2）．當(dāng)x∈[0，π]時，不等式f（a•b）＞f（c•d）的解集為
（
π
4
，
3π
4
）
（
π
4
，
3π
4
）
．

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