Question

【題目】已知：函數(shù).

（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求函數(shù)的上的最大值；

（3）當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見解析（3）答案不唯一，具體見解析

【解析】

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率,由點(diǎn)斜式可求得切線方程;

(2)求導(dǎo)后,對(duì)分類討論可求得函數(shù)的上的最大值;

(3)求導(dǎo)后,對(duì)分類討論,利用零點(diǎn)存在性定理可求得.

（1）因?yàn)?/span>,所以,所以，

∴函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為：；

（2）因?yàn)?/span>,所以，

①當(dāng)，∴在上單調(diào)遞增；此時(shí)的最大值為；

②當(dāng)，令得,

若，即時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，

∴，

若，即時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

∴，

綜上所述：

①當(dāng)時(shí)，的最大值為；

②當(dāng)時(shí)，的最大值為；

（3）由題意知：，則，

①即時(shí)在上恒成立，

∴在上單調(diào)增，

且，，

由零點(diǎn)存在性定理可知：在上存在唯一的零點(diǎn)，即在上存在唯一零點(diǎn)；

②即，

令，則，

此時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在上取得最小值,

令，

令，得，

∴在單調(diào)增，在上單調(diào)減，得，

①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

②當(dāng),即時(shí)，,

所以在上為增函數(shù),所以,即，

∵，∴在有唯一的零點(diǎn)，

下面先證：

設(shè)，∴，得：，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

∴，即得證（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；

∵，∴，

∴，

由零點(diǎn)存在性定理可知：在上存在唯一零點(diǎn)，

∴有兩個(gè)零點(diǎn).

③時(shí)，且，

又有，

∴由零點(diǎn)存在性定理可知：在與上各存在唯一零點(diǎn).

所以有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上所述：或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，

且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).