Question

【題目】在我國瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見，因為六、八是中國人的吉利數字，所以好多瓷器都做成六棱形和八棱形.數學李老師有一個正六棱柱形狀的筆筒，如圖，底面邊長為，高為（底部及筒壁厚度忽略不計）.一根長度為的圓鐵棒（粗細忽略不計）斜放在筆筒內部，的一端置于正六棱柱某一側棱的底端，另一端置于和該側棱正對的側棱上.一位小朋友玩耍時，向筆筒內注水，恰好將圓鐵棒淹沒，又將一個圓球放在筆筒口，球面又恰好接觸水面，則球的表面積為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據鐵棒的長、六棱柱的結構特征，可求得水面高度；由正六邊形內切圓的性質可求得六棱柱體上面截得圓的半徑，設球的半徑為，表示出球心到截面圓的距離，即可求得球的半徑，進而得球的表面積.

六棱柱筆筒的邊長為，高，鐵棒與底面六邊形的最長對角線、對棱的部分長構成直角三角形，

所以，

∴，所以容器內水面的高度為.

設球的半徑為，

則球被六棱柱體上面截球所得圓即為正六邊形的內切圓，所以圓的半徑為，

六棱柱筆筒的高，水面的高度為，則球心到截面圓的距離為，

則，解得，

∴球的表面積為.

故答案為：.