如圖,設(shè)、分別是圓和橢圓的弦,且弦的端點(diǎn)在軸的異側(cè),端點(diǎn)與、與的橫坐標(biāo)分別相等,縱坐標(biāo)分別同號.
(Ⅰ)若弦所在直線斜率為,且弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求直線的方程;
(Ⅱ)若弦過定點(diǎn),試探究弦是否也必過某個定點(diǎn). 若有,請證明;若沒有,請說明理由.
(Ⅰ);(Ⅱ)弦必過定點(diǎn).
解析試題分析:(Ⅰ)由題意得:直線的方程為
,,設(shè)
,將代入檢驗(yàn)符合題意,
故滿足題意的直線方程為:
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)得:圓的方程為:分
設(shè)、、、,
∵點(diǎn)在圓上, ∴,………①
∵點(diǎn)在橢圓上, ∴,………②
聯(lián)立方程①②解得:,同理解得:
∴、 ∵弦過定點(diǎn),
∴且,即,
化簡得
直線的方程為:,即,
由得直線的方程為:,
∴弦必過定點(diǎn).
解法二:由(Ⅰ)得:圓的方程為:
設(shè)、,
∵圓上的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短為原來的倍可得到橢圓,
又端點(diǎn)與、與的橫坐標(biāo)分別相等,縱坐標(biāo)分別同號,
∴、
由弦過定點(diǎn),猜想弦過定點(diǎn).
∵弦過定點(diǎn),∴且,即……① ,,
由①得,
∴弦必過定點(diǎn).
考點(diǎn):本題主要考查直線、圓、橢圓等基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用。
點(diǎn)評:本題以直線、圓、橢圓為載體,綜合考查推理論證能力、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線C關(guān)于軸對稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),并且經(jīng)過點(diǎn)
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)直線過拋物線的焦點(diǎn)F,與拋物線交于A、B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3,求弦長以及直線的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知點(diǎn)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn),到焦點(diǎn)的距離的最大值為.
(1)求橢圓的方程。
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為,過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)。對于任意的是否為定值?若是求出這個定值;若不是說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)如圖,直線l:y=x+b與拋物線C:x2=4y相切于點(diǎn)A.
(1)求實(shí)數(shù)b的值;
(2)求以點(diǎn)A為圓心,且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)設(shè)橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)為,過點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn),且.
(1)求橢圓的離心率; (2)若過、、三點(diǎn)的圓恰好與直線:相切,
求橢圓的方程;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分14分)
已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸長為,離心率,過右焦點(diǎn)的直線交
橢圓于,兩點(diǎn):
(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率為1時,求的面積;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知雙曲線的離心率,過的直線到原點(diǎn)的距離是
(1)求雙曲線的方程;
(2)已知直線交雙曲線于不同的點(diǎn)C,D且C,D都在以B為圓心的圓上,求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓過橢圓的兩焦點(diǎn),與橢圓有且僅有兩個與圓相切 ,與橢圓相交于兩點(diǎn)記
(1)求橢圓的方程
(2)求的取值范圍;
(3)求的面積S的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(12分)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上,過點(diǎn)作直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),且滿足,
(1)求拋物線的方程
(2)當(dāng)拋物線上的一動點(diǎn)P從A運(yùn)動到B時,求面積的的最大值.
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