Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)．
（1）當時，證明函數(shù)只有一個零點；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍

Answer 1

(1) 略．
(2)

解：（Ⅰ）當時，，其定義域是………1分
∴                  ………………………2分  
令，即，解得或．
，∴ 舍去．                         …………………3分
當時，；當時，．
∴ 函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減
∴ 當x =1時，函數(shù)取得最大值，其值為．
當時，，即．
∴ 函數(shù)只有一個零點．                      ………………………6分 
（Ⅱ）顯然函數(shù)的定義域為
∴ ……………7分
①當時，在區(qū)間
上為增函數(shù)，不合題意………9分
②當時，等價于，即
此時的單調遞減區(qū)間為．
依題意，得解之得．                    …………………9分
當時，等價于，即
此時的單調遞減區(qū)間為，
∴    得            ………………………11分
綜上，實數(shù)的取值范圍是
         ………………………12分
法二：
①當時，
在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意……………7分
②當時，要使函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，
只需在區(qū)間上恒成立，只要恒成立，
解得或                  ………………………11分
綜上，實數(shù)的取值范圍是
        ………………………12分