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【題目】已知函數有兩個零點,且

1)求的取值范圍;

2)證明:隨著的增大而減;

3)證明:隨著的增大而減小.

【答案】12)見解析(3)見解析

【解析】

1)求導后,對分類討論,利用導數研究單調性,根據單調性求出最大值,利用函數有兩個零點等價于①;②存在,滿足是;③存在,滿足.再逐個加以驗證即可得到答案;

2)由,有,構造函數,利用導數進行研究可證結論;

3)由,設,可得,構造函數,利用導數可得單調遞增,結合(1)(2)的結論可證.

1的定義城為,由.

下面分兩種情況討論:

(。時,上恒成立,可得上單調遞增,不合題意.

(ⅱ)時,由,得.

變化時,、的變化情況如下表:

0

遞增

遞減

這時,的單調遞增區(qū)間是;單調遞減區(qū)間是.

于是,函數有兩個零點等價于如下條件同時成立:

;②存在,滿足是;③存在,滿足.

,解得.

而此時,取,滿足,且;

,滿足,且,

,

因為,所以上為遞減函數,

所以,即,

的取值范圍是.

2)證明:由,有,

,由上單調遞增,在上單調遞減.

并且,當時,;當時,.

由已知,滿足.

的單調性,可得.

對于任意的、,設,

﹐其中,其中.

因為上單調遞增,所以由,即,可得.類似可得.

又由,得,

所以隨著的減小而增大.

3)證明:由,

,則,且

.

,,則.

,得.

時,.因此,上單調遞增,

故對于任意的,,由此可得,故上單調遞增.

因此,由①可得隨著的增大而增大.而由(2),隨著的減小而增大,所以隨著的增大而減小.隨著的增大而增大,因此隨著的增大而減小.

練習冊系列答案
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月份

2017.12

2018.01

2018.02

2018.03

2018.04

月份編號

1

2

3

4

5

銷量(萬量)

0.5

0.6

1

1.4

1.7

1)經分析,可用線性回歸模型擬合當地該品牌新能源汽車實際銷量(萬輛)與月份編號之間的相關關系.請用最小二乘法求關于的線性回歸方程,并預測20185月份當地該品牌新能源汽車的銷量;

22018612日,中央財政和地方財政將根據新能源汽車的最大續(xù)航里程(新能源汽車的最大續(xù)航里程是指理論上新能源汽車所裝的燃料或電池所能夠提供給車跑的最遠里程)對購車補貼進行新一輪調整.已知某地擬購買新能源汽車的消費群體十分龐大,某調研機構對其中的200名消費者的購車補貼金額的心理預期值進行了一個抽樣調查,得到如下一份頻數表:

補貼金額預期值區(qū)間(萬元)

頻數

20

60

60

30

20

10

i)求這200位擬購買新能源汽車的消費者對補貼金額的心理預期值的方差及中位數的估計值(同一區(qū)間的預期值可用該區(qū)間的中點值代替,估計值精確到0.1);

ii)將頻率視為概率,現用隨機抽樣方法從該地區(qū)擬購買新能源汽車的所有消費者中隨機抽取3人,記被抽取的3人中對補貼金額的心理預期值不低于3萬元的人數為,求的分布列及數學期望.

附:①回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:;②.

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【題目】設函數,下述四個結論:

是偶函數;

的最小正周期為;

的最小值為0

上有3個零點

其中所有正確結論的編號是(

A.①②B.①②③C.①③④D.②③④

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【題目】如圖,已知為拋物線上一點,斜率分別為,的直線PAPB分別交拋物線于點A,B(不與點P重合).

1)證明:直線AB的斜率為定值;

2)若△ABP的內切圓半徑為.

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ii)求直線AB的方程.

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