Question

已知橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，橢圓C的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），斜率為k（k≠0）的直線l經(jīng)過點F₂，交橢圓于A、B兩點，且△ABF₁的周長為8．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點E為x軸上一點，

AF2

=λ

F2B

（λ∈R），若

F1F2

⊥(

EA

+λ

BE

)，求點E的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得|AF₁|+|BF₁|+|AB|=8，結(jié)合|AB|=AF₂|+|BF₂|，可求|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|，根據(jù)橢圓的定義可求a，然后由c得值班可求b，進而可求橢圓的方程
（Ⅱ）設(shè)點E的（m，0），由已知可得直線l的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程（*）的兩個實根，結(jié)合根與系數(shù)得關(guān)系及

AF2

=λ

F2B

，

F1F2

⊥(

EA

+λ

BE

)，代入可求點E的坐標

解答：解：（Ⅰ）依題意，A、B不與橢圓C長軸兩端點重合，因為△ABF₁的周長為8，
即|AF₁|+|BF₁|+|AB|=8，又|AB|=AF₂|+|BF₂|，
所以|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=8．
根據(jù)橢圓的定義，得|AF₁|+|AF₂|=2a，|BF₁|+|BF₂|=2a，
所以，4a=8，a=2．…（2分）
又因為 c=1，
所以，b=

3

．
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）設(shè)點E的坐標為（m，0），由已知可得直線l的方程為y=k（x-1），
代入橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1
消去y整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0（*）（6分）
△=64k⁴-4（3+4k²）（4k²-12）=144（k²+1）＞0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程（*）的兩個實根，
由根與系數(shù)的關(guān)系可知：

x1+x2= 8k2 3+4k2 x1x2= 4k2-12 3+4k2

(1)   (2)

（8分）

AF2

=(1-x1，-y1），

F2B

=(x2-1，y2），

EA

=(x1-m，y1），

BE

=(m-x2，-y2）
由已知

AF2

=λ

F2B

，得1-x₁=λ（x₂-1）．
由已知x₂≠1，則λ=

1-x1

x2-1

（9分）

EA

+λ

BE

=(x1-m+λ(m-x2)，y1-λy2）x₁-m+λ（m-x₂）=x₁-m+

(1-x1)(m-x2)

x2-1

=

(x1-m)(x2-1)+(1-x1)(m-x2)

x2-1

=

2x1x2-(m+1)(x1+x2)+2m

x2-1

=

2(4k2-12) 3+4k2 - 8(m+1)k2 3+4k2 +2m

x2-1

．
因為

F1F2

•(

EA

+λ

BE

）=0

F1F2

=（2，0），

EA

+λ

BE

=(x1-m+λ(m-x2)，y1-λy2）
∴2（x₁-m+λ（m-x₂））=0
∴

2(4k2-12)

3+4k2

-

8(m+1)k2

3+4k2

+2m=0
化簡得：6m-24=0，m=4，即E（4，0）．（12分）

點評：本題主要考查了利用橢圓的定義求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，考查了考生的基本運算推理的能力．