Question

如圖，公園有一塊邊長為2的等邊△ABC的邊角地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上．
（1）設(shè)AD=x，ED=y，求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果DE是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望它最短，DE的位置應(yīng)在哪里？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在△ADE中，由余弦定理可得x，y，AE之間的關(guān)系，然后由S_△ADE=

1

2

S_△ABC，結(jié)合面積公式可求x與AE的關(guān)系，從而可求
（2）由題意可得y=

x2+ 4 x2 -2

，利用基本不等式可求函數(shù)的最小值

解答：解：（1）在△ADE中，y²=x²+AE²-2x•AE•cos60°⇒y²=x²+AE²-x•AE，①…（2分）
又S△ADE=

1

2

S△ABC=

3

2

=

1

2

x•AE•sin600⇒x•AE=2．②…（4分）
②代入①得y2=x2+(

2

x

)2-2(y＞0)），
∴y=

x2+ 4 x2 -2

（0x≤2）…（8分）
（2）如果DE是水管y=

x2+ 4 x2 -2

≥

2•2-2

=

2

，…（12分）
當且僅當x²=

4

x2

，即x=

2

時“=”成立，…（13分）
故DE∥BC且AD=

2

時水管的長度最短（15分）

點評：本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，及基本不等式在函數(shù)的最值求解中的應(yīng)用，計算雖然簡單，但是考查的內(nèi)容具有較強的綜合性