Question

已知二次函數(shù)，及函數(shù)。

關于的不等式的解集為，其中為正常數(shù)。

（1）求的值；

（2）R如何取值時，函數(shù)存在極值點，并求出極值點；

（3）若，且，求證： 。

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）,

（3）可用數(shù)學歸納法證明

【解析】

試題分析：（1）解：∵關于的不等式的解集為，

即不等式的解集為，

∴.              

∴.

∴.

∴.                   

(2)解法1:由(1)得.

∴的定義域為.

∴.           

方程（*）的判別式

.                    

當時， 對恒成立，方程（*）的兩個實根為

             

則時，；時，.

∴函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增.

∴對任意實數(shù)k，函數(shù)都有極小值點.             

解法2:由(1)得.

∴的定義域為.

∴.             

若函數(shù)存在極值點等價于函數(shù)有兩個不等的零點，且至少有一個零點在上.              

令,

得, (*)

則,(**)             

方程（*）的兩個實根為, .

設,

①若,則,得,此時,取任意實數(shù), (**)成立.

則時，；時，.

∴函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增.

∴函數(shù)有極小值點.

②若,則得（不合舍去）

綜上所述, 當時，取任何實數(shù), 函數(shù)有極小值點；       

(其中, )

(3)證法1：∵，∴.

∴ 

.                   

令，

則

.

∵，

∴       

        

.               

∴，即.          

證法2：下面用數(shù)學歸納法證明不等式.

①當時，左邊，右邊，不等式成立；10分

②假設當N時，不等式成立，即，

則

            

             

.

也就是說，當時，不等式也成立.               

由①②可得，對都成立.                   

考點：不等式導數(shù)

點評：本題考查了導數(shù)與極值之間的關系，導數(shù)幾何意義的應用，以及利用數(shù)學歸納法證明不等式．