【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=aexlnx+ ,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處得切線方程為y=e(x﹣1)+2.
(Ⅰ)求a、b;
(Ⅱ)證明:f(x)>1.
【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
f′(x)= + ,
由題意可得f(1)=2,f′(1)=e,
故a=1,b=2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=exlnx+ ,
∵f(x)>1,∴exlnx+ >1,∴l(xiāng)nx> ﹣ ,
∴f(x)>1等價(jià)于xlnx>xe﹣x﹣ ,設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,則g′(x)=1+lnx,
∴當(dāng)x∈(0, )時(shí),g′(x)<0;當(dāng)x∈( ,+∞)時(shí),g′(x)>0.
故g(x)在(0, )上單調(diào)遞減,在( ,+∞)上單調(diào)遞增,從而g(x)在(0,+∞)上的最小值為g( )=﹣ .
設(shè)函數(shù)h(x)=xe﹣x﹣ ,則h′(x)=e﹣x(1﹣x).
∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)<0,
故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
從而h(x)在(0,+∞)上的最大值為h(1)=﹣ .
綜上,當(dāng)x>0時(shí),g(x)>h(x),即f(x)>1.
【解析】(Ⅰ)求出定義域,導(dǎo)數(shù)f′(x),根據(jù)題意有f(1)=2,f′(1)=e,解出即可;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)>1等價(jià)于xlnx>xe﹣x﹣ ,設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,函數(shù)h(x)= ,只需證明g(x)min>h(x)max,利用導(dǎo)數(shù)可分別求得g(x)min,h(x)max;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】公元263年左右,我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí),多邊形的面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”.利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖,其中n表示圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù),執(zhí)行此算法輸出的圓周率的近似值依次為(參考數(shù)據(jù): ≈1.732,sin15°≈0.2588,sin75°≈0.1305)( )
A.2.598,3,3.1048
B.2.598,3,3.1056
C.2.578,3,3.1069
D.2.588,3,3.1108
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+2)=f(x﹣2);當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)= ,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f等于( )
A.﹣1
B.0
C.1
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F重合,且橢圓的離心率是 ,如圖所示.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)拋物線的準(zhǔn)線與橢圓在第二象限相交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作拋物線的切線l,l與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B,求線段AB的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)y=f″(x)是y=f′(x)的導(dǎo)數(shù).某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn),任意一個(gè)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有對(duì)稱中心(x0 , f(x0)),其中x0滿足f″(x0)=0.已知函數(shù)f(x)= x3﹣ x2+3x﹣ ,則f( )+f( )+f( )+…+f( )= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在(0,+∞)上的函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為y=f﹣1(x),若g(x)= 為奇函數(shù),則f﹣1(x)=2的解為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y2=4x的內(nèi)接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn),三邊上的高線都通過拋物線的焦點(diǎn),求此三角形外接圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近期“共享單車”在全國(guó)多個(gè)城市持續(xù)升溫,某移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)機(jī)構(gòu)通過對(duì)使用者的調(diào)查得出,現(xiàn)在市場(chǎng)上常見的八個(gè)品牌的“共享單車”的滿意度指數(shù)如莖葉圖所示:
(Ⅰ)求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù);
(Ⅱ)某用戶從滿意度指數(shù)超過80的品牌中隨機(jī)選擇兩個(gè)品牌使用,求所選兩個(gè)品牌的滿意度指數(shù)均超過85的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)國(guó)務(wù)院批復(fù)同意,鄭州成功入圍國(guó)家中心城市,某校學(xué)生團(tuán)針對(duì)“鄭州的發(fā)展環(huán)境”對(duì)20名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查打分(滿分100分),得到如圖1所示莖葉圖.
(Ⅰ)分別計(jì)算男生女生打分的平均分,并用數(shù)學(xué)特征評(píng)價(jià)男女生打分的數(shù)據(jù)分布情況;
(Ⅱ)如圖2按照打分區(qū)間[0,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]繪制的直方圖中,求最高矩形的高;
(Ⅲ)從打分在70分以下(不含70分)的同學(xué)中抽取3人,求有女生被抽中的概率.
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