Question

（本小題滿(mǎn)分12分）在三棱柱中，側(cè)面為矩形，，，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，側(cè)面.

（1）證明：；
（2）若，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）.

解析試題分析：本題以三棱柱為幾何背景考查線(xiàn)線(xiàn)垂直的判定和線(xiàn)面垂直的判定以及線(xiàn)面角的求法，可以運(yùn)用空間向量法求解，突出考查考生的空間想象能力和推理論證能力以及計(jì)算能力.第一問(wèn)，由于側(cè)面為矩形，所以在直角三角形和直角三角形中可求出和的正切值相等，從而判斷2個(gè)角相等，通過(guò)轉(zhuǎn)化角得到， 又由于線(xiàn)面垂直，可得，所以可證， 從而得證；第二問(wèn)，根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，求出平面的法向量，再利用夾角公式求出直線(xiàn)和平面所成角的正弦值.
試題解析：(1)證明：由題意,
注意到,所以,
所以,
所以,      3分
又側(cè)面，
又與交于點(diǎn)，所以,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c3/5/twffv1.png" style="vertical-align:middle;" />,所以        6分
(2)如圖，分別以所在的直線(xiàn)為軸，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系

則，，，，，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/35/8/1ec5r3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以        8分
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則根據(jù)可得是平面的一個(gè)法向量,
設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則   12分
考點(diǎn)：1.直角三角形中正切的計(jì)算；2.線(xiàn)面垂直的判定和性質(zhì)；3.空間向量法；4.線(xiàn)面角的正弦值的求法.