Question

【題目】已知如圖，長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)，，分別為，， 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面與平面平行，且與長(zhǎng)方體的面相交，交線(xiàn)圍成一個(gè)幾何圖形.

（1）在圖中畫(huà)出這個(gè)幾何圖形，并求這個(gè)幾何圖形的面積（畫(huà)圖說(shuō)出作法，不用說(shuō)明理由）；

（2）求證：平面.

Answer 1

【答案】(1) .(2)見(jiàn)解析.

【解析】

（1）以公理三及其推理，以及面面平行判定定理為依據(jù)，即可作出過(guò)點(diǎn)且與平面平行的平面，由于其截面為等腰梯形，對(duì)應(yīng)運(yùn)用梯形面積公式即可求出該梯形面積.

（2）設(shè)交EF于Q，連接DQ，關(guān)鍵通過(guò)證明以及，即可利用線(xiàn)面垂直判定定理證明.而對(duì)于的證明，可以通過(guò)平面即可，而的證明，需要證得即可.

（1）設(shè)N為的中點(diǎn)，連結(jié)MN，AN、AC、CM，

則四邊形MNAC為所作圖形；

易知MN（或），四邊形為梯形，

且，

過(guò)M作MP⊥AC于點(diǎn)P，可得，

，得

所以梯形的面積=；

（2）證法1：在長(zhǎng)方體中，設(shè)交EF于Q，連接DQ，則Q為EF的中點(diǎn)并且為的四等點(diǎn)，如圖，

由得，又，，

平面，則，

且，則

，

，

平面

證法2：設(shè)交EF于Q，連接DQ，則Q為EF的中點(diǎn)，且為的四等分點(diǎn)，

由可知，

又，，

平面，

由得，

得，

，

，又，

平面