Question

在三角形ABC中，角A、B、C滿足sinCcosB=（2sinA-sinB）cosC．
（1）求角C的大小；
（2）求函數y=2sin²B-cos2A的值域．

Answer 1

分析：（1）化簡三角恒等式，然后利用和角公式進行整理，最后根據特殊值的三角函數求出角C即可；
（2）角A用角B表示，轉化成角B的三角函數，利用輔助角公式進行化簡，根據角B的范圍，可求出函數的值域．

解答：解：（1）由sinCcosB=（2sinA-sinB）cosC
得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC
所以sin（B+C）=2sinAcosC
又A+B+C=π，所以，sinA=2sinAcosC，因為0＜A＜π，sinA＞0，
所以cosC=

1

2

，又0＜C＜π，所以C=

π

3

（2）在三角形ABC中，C=

π

3

，故A+B=

2π

3

，
y=2sin²B-cos2（

2π

3

-B）
=2sin²B+cos（

π

3

-2B）
=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B
=

3

2

sin2B-

1

2

cos2B+1
=sin（2B-

π

6

）+1
∵0＜B＜

2π

3

∴2B-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

）
則sin（2B-

π

6

）∈（-

1

2

，1]
∴函數y=2sin²B-cos2A的值域（

1

2

，2]

點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，以及三角函數的值域，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．