【題目】已知橢圓的兩個焦點為，離心率為．

(1)求橢圓的方程；

(2)設點是橢圓的右頂點，過點的直線與橢圓交于， 兩點，直線， 與直線分別交于， 兩點．求證：點在以為直徑的圓上．

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由題意，設橢圓方程為 ，

則，解出，即可得到橢圓的方程；

（ 2）由（1）可得. 考慮直線不存在斜率時，可得.在以為直徑的圓上. 當直線存在斜率時，設方程為 ， 、.

由可得. 直線方程為，得 , 同理， . 求出，可證.即在以為直徑的圓上.

試題解析：

（1）由題意，設橢圓方程為 ，

則

得

所以橢圓方程為

（2）證明：由（Ⅰ）可得.

當直線不存在斜率時，可得

直線方程為，令得,

同理，得.

所以,

得.

所以,在以為直徑的圓上.

當直線存在斜率時，設方程為 ， 、.

由可得.

顯然,,

直線方程為，得 ,

同理， .

所以.

因為

所以

所以

所以, 在以為直徑的圓上.

綜上， 在以為直徑的圓上.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是菱形，且，其對角線、交于點， 、是棱、上的中點.

（1）求證：面面；

（2）若面底面， ， ， ，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若數(shù)列{}的前n項和Sn=2-2．

（1）求數(shù)列{}的通項公式；

（2）若bn=log，Sn=b1+b2+…+bn，對任意正整數(shù)n，Sn+（n+m）＜0恒成立，試求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于兩點，與拋物線的準線相交于點， ，則與的面積之比__________．

【答案】

【解析】

由題意可得拋物線的焦點的坐標為，準線方程為。

如圖，設，過A,B分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為E,N，則

，解得。

把代入拋物線，解得。

∴直線AB經(jīng)過點與點，

故直線AB的方程為，代入拋物線方程解得。

∴。

在中， ，

∴

∴。答案：

點睛：

在解決與拋物線有關的問題時，要注意拋物線的定義在解題中的應用。拋物線定義有兩種用途：一是當已知曲線是拋物線時，拋物線上的點M滿足定義，它到準線的距離為d，則|MF|＝d，可解決有關距離、最值、弦長等問題；二是利用動點滿足的幾何條件符合拋物線的定義，從而得到動點的軌跡是拋物線．

【題型】填空題
【結(jié)束】
17

【題目】已知三個內(nèi)角所對的邊分別是，若.

（1）求角；

（2）若的外接圓半徑為2，求周長的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】橢圓:的左、右焦點分別為、，若橢圓過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若為橢圓的左、右頂點， （）為橢圓上一動點，設直線分別交直線： 于點，判斷線段為直徑的圓是否經(jīng)過定點，若是，求出該定點坐標；若不恒過定點，說明理由.

【答案】(1) ；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）將點坐標代人橢圓方程 并與離心率聯(lián)立方程組，解得， （2）根據(jù)點斜式得直線方程，與直線聯(lián)立解得點坐標，根據(jù)向量關系得為直徑的圓方程，最后代人橢圓方程進行化簡，并根據(jù)恒等式成立條件求定點坐標.

試題解析：(1)由已知，

∴①

∵橢圓過點，

∴②

聯(lián)立①②得，

∴橢圓方程為

（2）設，已知

∵，∴

∴都有斜率

∴

∴③

∵

∴④

將④代入③得

設方程

∴方程

∴

由對稱性可知，若存在定點，則該定點必在軸上，設該定點為

則

∴

∴，∴

∴存在定點或以線段為直徑的圓恒過該定點.

點睛：定點的探索與證明問題

(1)探索直線過定點時，可設出直線方程為，然后利用條件建立等量關系進行消元，借助于直線系的思想找出定點．

(2)從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關．

【題型】解答題
【結(jié)束】
21

【題目】已知函數(shù)，曲線在處的切線經(jīng)過點.

（1）證明： ；

（2）若當時， ，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為積極響應國家“陽光體育運動”的號召，某學校在了解到學生的實際運動情況后，發(fā)起以“走出教室，走到操場，走到陽光”為口號的課外活動倡議。為調(diào)查該校學生每周平均體育運動時間的情況，從高一高二基礎年級與高三三個年級學生中按照4:3:3的比例分層抽樣，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時)，得到如圖所示的頻率分布直方圖。

（1）據(jù)圖估計該校學生每周平均體育運動時間．并估計高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數(shù)；

（2）規(guī)定每周平均體育運動時間不少于6小時記為“優(yōu)秀”，否則為“非優(yōu)秀”，在樣本數(shù)據(jù)中，有30位高三學生的每周平均體育運動時間不少于6小時，請完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間是否“優(yōu)秀”與年級有關”．

基礎年級

高三

合計

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

300

P(K2≥k0)

0.10

0.05

0.010

0.005

k0

2.706

3.841

6.635

7.879

附：K2，n＝a+b+c+d．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥底面ABC，AC⊥BC,四邊形BB1C1C為正方形，設AB1的中點為D，B1C∩BC1=E.

求證：（1）DE∥平面AA1C1C;

(2)BC1⊥平面AB1C.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩班舉行電腦漢字錄入比賽，參賽學生每分鐘錄入漢字的個數(shù)經(jīng)統(tǒng)計計算后填入下表，某同學根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析得出的結(jié)論正確的是（ ）

班級

參加人數(shù)

中位數(shù)

方差

平均數(shù)

甲

55

149

191

135

乙

55

151

110

135

A.甲、乙兩班學生成績的平均數(shù)相同

B.甲班的成績波動比乙班的成績波動大

C.乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)（每分鐘輸入漢字數(shù)≥150個為優(yōu)秀）

D.甲班成績的眾數(shù)小于乙班成績的眾數(shù)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4—4：極坐標與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，將曲線 (為參數(shù)) 上任意一點經(jīng)過伸縮變換后得到曲線的圖形．以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線．

（Ⅰ）求曲線和直線的普通方程；

（Ⅱ）點P為曲線上的任意一點，求點P到直線的距離的最大值及取得最大值時點P的坐標．

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