Question

在矩形ABCD中，已知AD=6，AB=2，E、F為AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，AC和BF交于點(diǎn)G，△BEG的外接圓為⊙H．以DA所在直線為x軸，以DA中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求以F、E為焦點(diǎn)，DC和AB所在直線為準(zhǔn)線的橢圓的方程．
（2）求⊙H的方程．
（3）設(shè)點(diǎn)P（0，b），過點(diǎn)P作直線與⊙H交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)M恰好是線段PN的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程求得c和

a2

c

的值，進(jìn)而求得a和b，則橢圓方程可得．
（2）根據(jù)題意可知A，B，C，F(xiàn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得AC和BF的直線方程，聯(lián)立求得焦點(diǎn)G的坐標(biāo)，進(jìn)而求得EG，BF的斜率，根據(jù)二者的乘積為-1判斷出EG⊥BF，進(jìn)而求得圓心和半徑，進(jìn)而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（3）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則N點(diǎn)的坐標(biāo)可知，代入圓的方程聯(lián)立求得8x₀+4（1-b）y₀+b²+2b-9=0，判斷出點(diǎn)M在此直線上，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求得圓心到直線的距離小于或等于

2

整理求得b的范圍．

解答：解；（1）由已知，設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由于焦點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0），它對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為x=3，
所以c=1，

a2

c

=3，于是a²=3，b²=2，
所以所求的橢圓方程為：

x2

3

+

y2

2

=1．

（2）由題意可知A（3，0），B（3，2），C（-3，2），F(xiàn)（-1，0）．
所以直線AC和直線BF的方程分別為：x+3y-3=0，x-2y+1=0，
由

x+3y-3=0  x-2y+1=0

解得

x= 3 5   y= 4 5

所以G點(diǎn)的坐標(biāo)為(

3

5

， 

4

5

)．
所以k_EG=-2，kBF=

1

2

，
因?yàn)閗_EG•k_BF=-1，所以EG⊥BF，
所以⊙H的圓心為BE中點(diǎn)H（2，1），半徑為BH=

2

，
所以⊙H方程為（x-2）²+（y-1）²=2．

（3）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則N點(diǎn)的坐標(biāo)為（2x₀，2y₀-b），
因?yàn)辄c(diǎn)M，N均在⊙H上，所以

(x0-2)2+(y0-1)2=2              ① (2x0-2)2+(2y0-b-1)2=2      ②

，
由②-①×4，得8x₀+4（1-b）y₀+b²+2b-9=0，
所以點(diǎn)M（x₀，y₀）在直線8x+4（1-b）y+b²+2b-9=0，
又因?yàn)辄c(diǎn)M（x₀，y₀）在⊙H上，
所以圓心H（2，1）到直線8x+4（1-b）y+b²+2b-9=0的距離

|16+4(1-b)+b2+2b-9|

64+16(1-b)2

≤

2

，
即| (b-1)2+10 |≤4

8+2(b-1)2

，
整理，得（b-1）⁴-12（b-1）²-28≤0，即[（b-1）²+2][（b-1）²-14]≤0，
所以1-

14

≤b≤1+

14

，故b的取值范圍為[1-

14

，1+

14

]．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．有效地考查考生分析問題、解決問題的能力．