已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)O是△BCD的中心,點(diǎn)M是CD中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)A到面BCD的距離;
(2)求AB與面BCD所成角的正弦值.
(1)∵棱長(zhǎng)為a的正四面體中
AB=BC=CD=BD=AC=AD=a
在等邊三角形BCD中,CD邊的上高BM=
3
2
a
過(guò)A作底面BCD上的高,則垂足O為底面BCD的重心
則BO=
2
3
BM=
3
3
a

則AO=
AB2-BO2
=
6
3
a,
∴點(diǎn)A到面BCD的距離OA=
6
3
a
(說(shuō)明:直接由公式計(jì)算得出正確結(jié)果不扣分)…6分
(2)由(1)可得∠ABO即為AB與面BCD所成角
在Rt△OAB中,OA=
6
3
a,AB=a
∴sin∠ABO=
OA
AB
=
6
3

即AB與面BCD所成角的正弦值為
6
3
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

如圖,平面AC⊥平面AE,且四邊形ABCD與四邊形ABEF都是正方形,則異面直線AC與BF所成角的大小是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=2.
(1)求證:SA⊥CD;
(2)求異面直線SB與CD所成角的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

設(shè)OA是球O的半徑,M是OA的中點(diǎn),過(guò)M且與OA成450角的平面截球O的表面得到圓C,若圓C的面積等于
8
,則球O的半徑等于______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知正△ABC的頂點(diǎn)A在平面α上,頂點(diǎn)B、C在平面α的同一側(cè),D為BC的中點(diǎn),若△ABC在平面α上的投影是以A為直角頂點(diǎn)的三角形,則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍為_(kāi)_____.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)都是1,則直線AD與平面ABC的夾角的余弦值為_(kāi)_____.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,則AC1與平面BB1C1C所成的角的正弦值為(  )
A.
2
2
B.
15
5
C.
6
4
D.
6
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,三棱錐P-ABC中,∠ACB=90°,PA⊥底面ABC.
(I)求證:平面PAC⊥平面PBC;
(II)若AC=BC=PA,M是PB的中點(diǎn),求AM與平面PBC所成角的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

如圖,已知等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB,二面角C-AB-D的余弦值為
3
3
,M是AC的中點(diǎn),則EM,DE所成角的余弦值等于______.

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