在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)A為橢圓的左頂點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)P在第一象限，PF1⊥PF2，⊙O的方程為x2+y2=4
（1）求點(diǎn)P坐標(biāo)，并判斷直線PF2與⊙O的位置關(guān)系；
（2）是否存在不同于點(diǎn)A的定點(diǎn)B，對(duì)于⊙O上任意一點(diǎn)M，都有為常數(shù)，若存在，求所以滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】分析：（1）利用PF1⊥PF2，以及點(diǎn)P在橢圓上聯(lián)立即可求點(diǎn)P坐標(biāo)以及直線PF2的方程，再利用圓心到直線的距離和半徑相比即可判斷直線PF2與⊙O的位置關(guān)系；
（2）假設(shè)存在，代入為常數(shù)利用等式對(duì)所有的點(diǎn)M成立來(lái)求滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，n），因?yàn)镻F1⊥PF2，所以有=0故有⇒．
又因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限
所以P（，）．
故=-2．直線PF2的方程為2x+y-2=0．
又因?yàn)椋?，0）到直線PF2的距離d=2=r．
故直線PF2與⊙O的位置關(guān)系是相切．
（2）設(shè)B（a，b），M（x，y），為常數(shù)，⇒（x-a）2+（y-b）2=k（x+3）2+ky2．又因?yàn)閤2+y2=4．
所以有4-2ax-2by+a2+b2-4k-6kx-9k=0⇒x（-2a-6k）-2by+a2+b2+4-13k=0．對(duì)所有x，y都成立，所以 ⇒或
又因?yàn)槎c(diǎn)B不同于點(diǎn)A，故所求點(diǎn)B為（-，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)圓與橢圓知識(shí)的綜合考查．當(dāng)判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，可以利用圓心到直線的距離與半徑的大小相比求解．，也可以把直線與圓的方程聯(lián)立利用對(duì)應(yīng)方程的判別式與0的大小關(guān)系求解．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的點(diǎn)N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點(diǎn)，若
OA
•
OB
=0，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（2cosx+1，2cos2x+2）和點(diǎn)Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動(dòng)點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設(shè)u為R1，R2到x軸的距離之積．問(wèn)：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個(gè)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說(shuō)明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長(zhǎng)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個(gè)焦分別為F1，F(xiàn)2．過(guò)右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn)，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點(diǎn)B關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案