Question

【題目】某品牌布娃娃做促銷(xiāo)活動(dòng)：已知有50個(gè)布娃娃，其中一些布娃娃里面有獎(jiǎng)品，參與者可以先在50個(gè)布娃娃中購(gòu)買(mǎi)5個(gè)，看完5個(gè)布娃娃里面的結(jié)果再?zèng)Q定是否將剩下的布娃娃全部購(gòu)買(mǎi)，設(shè)每個(gè)布娃娃有獎(jiǎng)品的概率為，且各個(gè)布娃娃是否有獎(jiǎng)品相互獨(dú)立.

（1）記5個(gè)布娃娃中有1個(gè)有獎(jiǎng)品的概率為，當(dāng)時(shí)，的最大值，求；

（2）假如這5個(gè)布娃娃中恰有1個(gè)有獎(jiǎng)品，以上問(wèn)中的作為p的值.已知每次購(gòu)買(mǎi)布娃娃需要2元，若有中獎(jiǎng)，則中獎(jiǎng)?wù)呙看慰傻锚?jiǎng)金15元.以最終獎(jiǎng)金的期望作為決策依據(jù)，是否該買(mǎi)下剩下所有的45個(gè)布娃娃；

（3）若已知50件布娃娃中有10個(gè)布娃娃有獎(jiǎng)品，從這堆布娃娃中任意購(gòu)買(mǎi)5個(gè)，若抽到k個(gè)有獎(jiǎng)品可能性最大，求k的值.（k為正整數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）；（2）買(mǎi)下剩下所有的45個(gè)布娃娃；（3）

【解析】

(1) 求出的表達(dá)式,再進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出的最大值點(diǎn).

(2) 由(1)可知,設(shè)剩下45個(gè)布娃娃中有Y個(gè)獎(jiǎng)品,獲利為X元,則，又,求出即可得出結(jié)果;

(3) 設(shè)抽到k個(gè)有獎(jiǎng)品的可能性為，則，

根據(jù)題意可得,計(jì)算即可得出結(jié)果.

（1）由題意可得，

，

令得.當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí),

的最大值點(diǎn)為,因此當(dāng)時(shí),取最大值.

（2）由(1)可知，

設(shè)剩下45個(gè)布娃娃中有Y個(gè)獎(jiǎng)品，獲利為X元，

則，又.

因此

因此買(mǎi)下剩下所有的45個(gè)布娃娃.

（3）設(shè)抽到k個(gè)，有獎(jiǎng)品的可能性為，

則，

根據(jù)題意可得，

即且，

化簡(jiǎn)得，

解得，從而.