（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）

現(xiàn)有變換公式：可把平面直角坐標系上的一點變換到這一平面上的一點.

（1）若橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，且焦距為，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2. 求該橢圓的標準方程，并求出其兩個焦點、經(jīng)變換公式變換后得到的點和的坐標；

（2） 若曲線上一點經(jīng)變換公式變換后得到的點與點重合，則稱點是曲線在變換下的不動點. 求（1）中的橢圓在變換下的所有不動點的坐標；

（3） 在（2）的基礎(chǔ)上，試探究：中心為坐標原點、對稱軸為坐標軸的橢圓和雙曲線在變換下的不動點的存在情況和個數(shù).

略


解析:

（1）設(shè)橢圓的標準方程為（），由橢圓定義知焦距，即…①.

又由條件得…②，故由①、②可解得，.

即橢圓的標準方程為.

且橢圓兩個焦點的坐標分別為和.

對于變換：，當時，可得

設(shè)和分別是由和的坐標由變換公式變換得到.于是，，即的坐標為；

又即的坐標為.

（2）設(shè)是橢圓在變換下的不動點，則當時，

有，由點，即，得：

，因而橢圓的不動點共有兩個，分別為和.

（3）由（2）可知，曲線在變換下的不動點需滿足.

情形一：據(jù)題意，不妨設(shè)橢圓方程為（），

則有.

因為，所以恒成立，因此橢圓在變換下的不動點必定存在，且一定有2個不動點.

情形二：設(shè)雙曲線方程為（），

則有,

因為，故當時，方程無解；[來源:學�？啤＞W(wǎng)Z。X。X。K]

當時，故要使不動點存在，則需，

因此，當且僅當時，雙曲線在變換下一定有2個不動點.否則不存在不動點.

進一步分類可知，

(i) 當，時，.

即雙曲線的焦點在軸上時，需滿足時，雙曲線在變換下一定有2個不動點.否則不存在不動點.

(ii) 當，時，.

即雙曲線的焦點在軸上時，需滿足時，雙曲線在變換下一定有2個不動點.否則不存在不動點.

練習冊系列答案
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已知拋物線（且為常數(shù)），為其焦點．
（1）寫出焦點的坐標；
（2）過點的直線與拋物線相交于兩點，且，求直線的斜率；
（3）若線段是過拋物線焦點的兩條動弦，且滿足，如圖所示．求四邊形面積的最小值．

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（Ⅰ）求拋物線C的方程;

（Ⅱ）如圖,過拋物線C的焦點的直線從左到右依次與拋物線C及圓交于A、C、D、B四點,試證明為定值;

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(本題滿分18分，其中第1小題4分，第2小題6分，第,3小題8分)

一青蛙從點開始依次水平向右和豎直向上跳動，其落點坐標依次是，(如圖所示，坐標以已知條件為準)，表示青蛙從點到點所經(jīng)過的路程。

(1) 若點為拋物線準線上

一點，點，均在該拋物線上，并且直線經(jīng)

過該拋物線的焦點，證明.

(2)若點要么落在所表示的曲線上，

要么落在所表示的曲線上，并且,

試寫出（不需證明）；

(3)若點要么落在所表示的曲線上，要么落在所表示的曲線上，并且，求的表達式.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）

現(xiàn)有變換公式：可把平面直角坐標系上的一點變換到這一平面上的一點.

（1）若橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，且焦距為，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2. 求該橢圓的標準方程，并求出其兩個焦點、經(jīng)變換公式變換后得到的點和的坐標；

（2） 若曲線上一點經(jīng)變換公式變換后得到的點與點重合，則稱點是曲線在變換下的不動點. 求（1）中的橢圓在變換下的所有不動點的坐標；

（3） 在（2）的基礎(chǔ)上，試探究：中心為坐標原點、對稱軸為坐標軸的橢圓和雙曲線在變換下的不動點的存在情況和個數(shù).

 

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