Question

(本題滿分18分，其中第1小題4分，第2小題6分，第,3小題8分)

一青蛙從點開始依次水平向右和豎直向上跳動，其落點坐標依次是，(如圖所示，坐標以已知條件為準)，表示青蛙從點到點所經過的路程。

(1) 若點為拋物線準線上

一點，點，均在該拋物線上，并且直線經

過該拋物線的焦點，證明.

(2)若點要么落在所表示的曲線上，

要么落在所表示的曲線上，并且,

試寫出（不需證明）；

(3)若點要么落在所表示的曲線上，要么落在所表示的曲線上，并且，求的表達式.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：(1)設，由于青蛙依次向右向上跳動，

所以，，由拋物線定義知：             分

(2) 依題意，

隨著的增大，點無限接近點                             分

橫向路程之和無限接近，縱向路程之和無限接近        分

所以 =                                               分

(3)方法一：設點，由題意，的坐標滿足如下遞推關系：，且

其中                  分

∴，即，

∴是以為首項，為公差的等差數列，

∴，

所以當為偶數時，，于是，

又

∴當為奇數時，         分

當為偶數時，

當為奇數時，

所以，當為偶數時，

當為奇數時，

所以，                         分

 

方法二：由題意知      

其中

觀察規(guī)律可知：下標為奇數的點的縱坐標為首項為，公比為的等比數列。相鄰橫坐標之差為首項為2，公差為1的等差數列。下標為偶數的點也有此規(guī)律。并由數學歸納法可以證明。                                                               分

所以，當為偶數時，

當為奇數時，                              

當為偶數時，

當為奇數時，     分

所以，                      分

 

【解析】略