Question

如下圖所示，一個(gè)矩形花園里需要鋪設(shè)兩條筆直的小路，已知矩形花園的長AD＝5 m，寬AB＝3 m，其中一條小路定為AC，另一條小路過點(diǎn)D，問是否在BC上存在一點(diǎn)M，使得兩條小路AC與DM相互垂直？若存在，則求出小路DM的長．

[分析]　建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，轉(zhuǎn)幾何問題為代數(shù)運(yùn)算．

Answer 1

[解析]　以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC、BA所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．

因?yàn)?i>AD＝5 m，AB＝3 m，

所以C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,0)，因?yàn)?i>AC⊥DM，

所以k_AC·k_DM＝－1，

即·＝－1.

所以x＝3.2，即BM＝3.2，

即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3.2,0)時(shí)，兩條小路AC與DM相互垂直．

故在BC上存在一點(diǎn)M(3.2,0)滿足題意．

由兩點(diǎn)間距離公式得DM＝＝.

[點(diǎn)評]　建立直角坐標(biāo)系的原則：

(1)若條件中只出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)，常以定點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系；

(2)若已知兩定點(diǎn)，常以兩點(diǎn)的中點(diǎn)(或一個(gè)定點(diǎn))為原點(diǎn)，兩定點(diǎn)所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系；

(3)若已知兩條互相垂直的直線，則以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立直角坐標(biāo)系；

(4)若已知一定點(diǎn)和一定直線，常以定點(diǎn)到定直線的垂線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以定點(diǎn)到定直線垂線段的反向延長線為x軸建立直角坐標(biāo)系；

(5)若已知定角，常以定角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，定角的角平分線為x軸建立直角坐標(biāo)系．