Question

已知函數(shù)f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù),且對于任意實(shí)數(shù)a,b∈R,滿足:f(a·b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,an=(n∈N*),bn=(n∈N*).

考察下列結(jié)論:

①f(0)=f(1);②f(x)為偶函數(shù);

③數(shù)列{an}為等比數(shù)列;

④數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.

其中正確的結(jié)論共有(　　)

(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個

 

Answer 1

C

【解析】根據(jù)所給的四個條件,逐條驗(yàn)證即可.注意②中用特殊值驗(yàn)證,③④用定義判斷.

∵f(0)=f(0×0)=0,

f(1)=f(1×1)=2f(1),

∴f(1)=0,①正確;

又f(1)=f((-1)×(-1))=-2f(-1),

∴f(-1)=0,f(-2)=f(-1×2)=-f(2)+2f(-1)=-2≠f(2),

故f(x)不是偶函數(shù),故②錯;

∵f(2n)=f(2·2n-1)=2f(2n-1)+2n-1f(2)=2f(2n-1)+2n,

∴=+1,

即bn=bn-1+1,

∴{bn}是等差數(shù)列,④正確;

b1==1,

bn=1+(n-1)·1=n,

f(2n)=2nbn=n·2n,

an==2n,

故數(shù)列{an}是等比數(shù)列,③正確.故選C.