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已知數列{an}的相鄰兩項an，an＋1是關于x的方程x2－2nx＋bn＝0的兩根，且a1＝1.

(1)求證：數列是等比數列；

(2)求數列{an}的前n項和Sn；

(3)設函數f(n)＝bn－t·Sn(n∈N*)，若f(n)＞0對任意的n∈N*都成立，求t的取值范圍．

 

（1）見解析（2）（3）t＜1

【解析】(1)∵an＋an＋1＝2n，∴an＋1－·2n＋1＝－，

＝－1，∴是等比數列，

又a1－＝，q＝－1，∴an＝ [2n－(－1)n]．

(2)由(1)得Sn＝a1＋a2＋…＋an

＝ (2＋22＋…＋2n)－ [(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n]＝

＝

(3)∵bn＝an·an＋1，

∴bn＝[2n－(－1)n][2n＋1－(－1)n＋1]＝[22n＋1－(－2)n－1]，∴bn－t·Sn＞0，

∴[22n＋1－(－2)n－1]－t·＞0，∴當n為奇數時，

(22n＋1＋2n－1)－(2n＋1－1)＞0，∴t＜ (2n＋1)對任意的n為奇數都成立，∴t＜1.

∴當n為偶數時，

(22n＋1－2n－1)－(2n＋1－2)＞0，

∴ (22n＋1－2n－1)－ (2n－1)＞0，

∴t＜ (2n＋1＋1)對任意的n為偶數都成立，∴t＜.

綜上所述，t的取值范圍為t＜1

 

練習冊系列答案
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A．24 B．20＋4 C．28 D．24＋4

 

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(A)f(x)=- (B)f(x)=-

(C)f(x)= (D)f(x)=-

 

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設f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數,已知x∈(0,1)時,f(x)=lo(1-x),則函數f(x)在(1,2)上(　　)

(A)是增函數,且f(x)<0

(B)是增函數,且f(x)>0

(C)是減函數,且f(x)<0

(D)是減函數,且f(x)>0

 

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