若函數(shù)f(x)=數(shù)學公式在區(qū)間(1,4)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(6,+∞)上為增函數(shù).
(1)試求實數(shù)a的取值范圍.
(2)若a=2,求f(x)=c有三個不同實根時,c的取值范圍.
(說明:第二問能用f(x)表達即可,不必算出最結果.)

解:(1)∵函數(shù)f(x)=
∴f′(x)=x2-ax+a2-13,∵f(x)在區(qū)間(1,4)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(6,+∞)上為增函數(shù).
∴f′(x)=x2-ax+a2-13≤0在區(qū)間(6,+∞)上恒成立,
f′(x)=x2-ax+a2-13≥0在區(qū)間(6,+∞)上恒成立,
由f′(x)=x2-ax+a2-13開口向上,
∴只需

∴a∈[1,3]
∴a的取值范圍為[1,3].
(2)∵a=2,f(x)=,
∴f′(x)=x2-2x-9,
∴令f′(x)=x2-2x-9≥0即x≤1-或x≥1+,
∴f(x)的增區(qū)間為(-∞,1-),(1+,+∞),減區(qū)間為(1-,1+

X
y’+0-0+
y極大值極小值
∴f(x)的大致圖象如圖所示:
令y=c,則由圖可知,當
分析:(1)對f(x)求導,由已知條件函數(shù)f(x)=在區(qū)間(1,4)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(6,+∞)上為增函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為f′(x)=x2-ax+a2-13≤0在區(qū)間(1,4)上恒成立,和f′(x)=x2-ax+a2-13≥0在區(qū)間(1,4)上恒成立,兩個恒成立問題,從而求解;
(2)把a=2代入f(x),然后求導,求出f(x)的單調(diào)區(qū)間,利用數(shù)形結合的思想,畫出圖形進行求解.
點評:此題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,第一問比較新穎,已知單調(diào)區(qū)間來a的范圍,利用了轉(zhuǎn)化的思想,是一道綜合性比較強的題.
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(2012•香洲區(qū)模擬)已知f(x)=3x2-x+m,(x∈R),g(x)=lnx
(1)若函數(shù) f(x)與 g(x)的圖象在 x=x0處的切線平行,求x0的值;
(2)求當曲線y=f(x)與y=g(x)有公共切線時,實數(shù)m的取值范圍;并求此時函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間
13
 , 1 ]
上的最值(用m表示).

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1
3
,1)
1
3
,1)

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(2011•順義區(qū)二模)設函數(shù)f(x)=
ax
x2+b
(a>0)

(1)若函數(shù)f(x)在x=-1處取得極值-2,求a,b的值;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞增,求b的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,若P(x0,y0)為函數(shù)f(x)=
ax
x2+b
圖象上任意一點,直線l與f(x)的圖象切于點P,求直線l的斜率的取值范圍.

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(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,m+1]上單調(diào)遞增,求實數(shù)m的取值范圍.

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