Question

下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（　　）

• A、y=e^x
• B、y=sinx
• C、y=-x³
• D、y=log

  1

  2

  x

Answer 1

分析：A：因為f（-x）=e^-x≠-f（x），所以函數(shù)f（x）=e^x不是奇函數(shù)．B：函數(shù)f（x）=sinx的減區(qū)間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]．
C：因為函數(shù)的定義域為R關(guān)于原點對稱，并且f（-x）=-（-x）³=x³=-f（x），又f′（x）=-3x²≤0，所以函數(shù)在定義域內(nèi)即是減函數(shù)又是奇函數(shù)．
D：因為函數(shù)的定義域為（0，+∞）不關(guān)于原點對稱所以D錯誤．

解答：解：A：因為f（x）=e^x，所以f（-x）=e^-x≠-f（x），所以函數(shù)f（x）=e^x不是奇函數(shù)，所以A錯誤．
B：由題意可得：函數(shù)f（x）=sinx的減區(qū)間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，所以其在定義域內(nèi)不是減函數(shù)，所以B錯誤．
C：因為函數(shù)的定義域為R關(guān)于原點對稱，并且f（-x）=-（-x）³=x³=-f（x），所以函數(shù)f（x）=-x³是奇函數(shù)．
又因為f′（x）=-3x²≤0，所以函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)．所以C正確．
D：因為函數(shù)的定義域為（0，+∞）不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，所以D錯誤．
故選C．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握判斷函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的方法，以及掌握奇函數(shù)、偶函數(shù)、減函數(shù)、增函數(shù)的有關(guān)定義．