Question

【題目】下列命題中正確命題的個數(shù)是（ ）

（1）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則為偶函數(shù)的充要條件為對任意的，都成立；

（2）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則“”是“為奇函數(shù)”的必要條件；

（3）函數(shù)對任意的實數(shù)都有，則在實數(shù)集上是增函數(shù)；

（4）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點，則實數(shù)的取值范圍是.

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)定義知（1）正確；若定義域不包含，可知必要性不成立，（2）錯誤；通過反例知（3）錯誤；將問題轉(zhuǎn)化為與函數(shù)在上有兩個交點，利用數(shù)形結(jié)合的方式可知（4）正確.

對于（1），根據(jù)偶函數(shù)的定義可得：若函數(shù)為偶函數(shù)，則對應定義域內(nèi)的任意，都有；反之也成立；故（1）正確；

對于（2），函數(shù)的定義域不包含時，由“為奇函數(shù)”不能推出“”，故（2）錯誤；

對于（3），對于函數(shù)，對于任意的實數(shù)都有，但不滿足在實數(shù)集上是增函數(shù)，故（3）錯誤；

對于（4），函數(shù)的定義域為，且，

令得：，即，構(gòu)造函數(shù)，

則直線與函數(shù)在上有兩個交點.

，令，得，列表如下：

		0
		極大值

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為，又時，，

可得圖象如下圖所示：

當時，直線與函數(shù)在上有兩個交點，

實數(shù)的取值范圍是，故（4）正確.

故選：.